Как рассчитали точные значения тригонометрических функций?

Синус pi/6: раздели равносторонний треугольник высотой пополам, выбери половинку и примени в ней теорему Пифагора.
Синус pi/4: рассмотри равнобедренный прямоугольный треугольник, у него как раз такие острые углы.

Тринонометрические функции углов, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, тоже можно записать при помощи конечного выражения, содержащего целые числа, операции извлечения квадратного корня и обычные операции сложения/умножения/вычитания/деления.

Например,
sin(18 градусов) = (√5 -1)/4
sin(57 градусов) = (см скриншот в конце)
Ну и напоследок, одна интересная история и парочка знаменитых теорем: https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_65537-угольник

в матанализе есть такая штука как ряды Макларена.

например, sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+..(х - в радианах)

члены ряда быстро убывают, если ряд оборвать в каком-то месте, погрешность будет меньше, чем первый отброшенный член.

Используй формулы двойного угла, суммы и разности. Формулы вполне рациональные. С их помощью из нескольких исходных значений можно получить бесконечное количество значений "которые можно записать в сжатом виде, а не в виде бесконечной десятичной дроби".

Некоторые точные значения находят из решения геометрической задачи. Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Так, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой равной 1 и острыми углами 45 градусов имеем длину катета 1/корень (2). Вот отсюда и "точное" значение. Синус 30 = 1/2 из равенства треугольников и т. п. Для подобных вопросов очень удобно работать с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат. Угол берем между любым радиусом и осью Ох. Проекция точки пересечения радиуса с окружностью на ось Х - это косинус угла, на ось У - синус угла.

Поскольку функция синус непрерывна, то, очевидно, что она пробегает в т. ч. и все рациональные числа из отрезка от -1 до 1, которые можно представить в виде дроби n/m где n,m - целые. Ну и все другие числа, в т. ч. и иррациональные, которые можно себе представить с помощью корней и других операций - главное, чтобы в отрезок попадали.

Ну для начала нашли число Пи. Не знаю, как ОНИ это сделали, но мне приходит на ум, что нужно бы взять довольно большую окружность диаметра порядка метров, а то и километров, измерить ее как можно точнее, а потом тупо делить длину окружности на диаметр пока не надоест дописывать десятичные знаки. Думаю, головастые математики придумали что-нибудь поумней))) Вообще, я думаю, гугл знает ответ на этот вопрос. Стоит поискать например "как вычисляли число Пи"