Кто-нибудь может написать технологию или алгоритмы вычисления с помощью карандаша и бумаги значений сложных функций?

Да, такое сделать можно!
Нужно разложить в интересующей Вас точке функцию в ряд Тейлора и ограничиться несколькими первыми членами этого ряда.
Метод хорошо работает в таких точках, где функция аналитична в окрестности интересующей точки.
Все эти формулы, которые Вы видели основаны именно на разложениях в ряды Тейлора (или Лорана в общем случае).

Степень с произвольным показателем вычисляется через натуральный логарифм и экспоненту (надеюсь, формулы за восьмой класс средней школы приводить не надо) . Разложения экспоненты и логарифма в ряд Тейлора тоже хорошо известны. Подсказка: горазо быстрее ln x сходится ряд ln ((1-x)/(1+x)).

В общем-то, любую значение практически любой сложной функции можно вычислить приближенного. В одних случаях можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора или Маклорена, только эти, ряды часто оказываются формальными и для достижения приемлемого результата нужно сложить много сумм от произведений, т. е. при расчетах вручную можно потратить много дней (ни дай бог ошибиться в промежуточных вычислениях!) .
При разработке оптимальных алгоритмов вычисления функций во всем мире пользуются полиномами Чебышева. (Считать рядами Тейлора – это сильно по-русски, вроде кувалдой часы чинить. )
Многие сложные функции, действительно можно вычислить вручную, но эта тема интересна специалистам в области вычислительной математики. Если интересны оптимальные инструменты сложных функций, то наберите в поисковой системе “Numerical Recipes” – увидите множество интересных решений. Оптимизация ручных расчетов сейчас мало кому интереса. Плохо это или не хорошо судить не берусь.

надо знать как все делать, а калкулятор --это нр второй мозг, он лишь вычисляет