Как математематики доказывают и делают математические модели?

Для того чтобы создать математическую модель какого-то природного явления, нужно знать как происходит такое явление. обычно сначала идет накопление таких знаний (этим как правило, не математики занимаются), изучение всего того, что сделано.

Возьмем например, закон Гука. сначала он был предложен для одномерных задач (растяжение стержня), затем его распространили на двумерные и трехмерные тела.
затем решили учесть разнообразные явления, обычно происходящие при деформировании, например, температуру, скорость нагружения тела, пластические деформации и т. д., при этом получаются сложные системы диф. уравнений, которые описывают данные процессы. Математики анализируют такие уравнения, определяют границы применимости уравнений, ищут решения частных задач... изучают свойства таких уравнений и ищут способы их упрощения.. иногда оказывается, что уравнения подсказывают решения, которые соответствуют тем явления, которые еще и не открыты, но могут быть открыты.
Обычно такие уравнения очень сложные и их решают с привлечением численных методов и программирования.
Математики-программисты пишут комплексы программ на основе разработанных математических моделей, для того, чтобы инженеры могли легко получать решения конкретных задач, для которых разработан конкретный комплекс.
примерно так моделируют. это очень обще написано.
Здесь важно не надо путать моделирование процесса (то есть написание уравнений), численное моделирование (написание программ по этим уравнениям), анализ конкретных явлений на основе разработанных уже программных комплексов.

Математики обычно такими вещами не занимаются.
Этим занимаются инженеры и физики.
Математические модели строятся по разному. Например, если необходимо построить модель электрических цепей, или термодинамических систем используются программные комплексы (типа MathCAD, SolidWorks или MathLAB). Вводятся законы физики, и неизвестные переменные. Дальше компьютер анализирует и выдает решение, с графиками и тп.
Примерно так

Математики моделей не доказывают. Больше того, модель вообще доказать невозможно (только проверить на адекватность).

Нужно понимать простую вещь: математическая модель - это упрощённое представление физического (биологического, экономическго и т. д.) процесса. Слово "модель" здесь используется практически в том смысле, в котором оно используется в быту. Вы в детстве клеили модели самолётов, автомобилей или танков? Если да, разве вы их "доказывали"? В математике примерно то же самое. Модель может быть хорошей (условно говоря, копия самолёта с мотором и дистинационным управлением) или плохой (самолётик без мотора), но выяснить, какая из них - какая можно только экспериментально.

Кстати, построение моделей - далеко не самая сложная штука. Фундаментальная математика на-аамного сложнее.

P.S. Насчёт того, как делают: большая часть мат. моделей описывается большими и страшными дифференциальными уравнениями.

нааптются на новый год и делают, делают

С помощью правдивой, верной научной логики, логической взаимосвязи одного с другим!!! "Шерлоки Холмсы", только в области поиска математических причин по их следствиям, и следствий по их причинам!!! Детерминация известна ещё с древности, и её принцип описанный тогда вроде бы на латыни, но гласящий: ничто не происходит из ничего, и ничто не превращается в ничто!!! Сложное - состоит из множества простых вещей!!!