объясните,пожалуйста, что такое первообразная на примерах СПАСИБО

первообразной функцией данной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F′ = f.
например F(x) = (x в кубе) / 3 является первообразной для f(x) = (x в квадрате)

Словари Даля и Фасмера единогласно утверждают, что «спасибо» – не что иное, как сокращённый вариант пожелания «спаси Бог!» , выражающего благодарность. Тем не менее, далеко не все придерживаются этой точки зрения. Староверы, например, полагают, что это слово означает выражение «спаси бай» и потому всячески избегают его употребления, поскольку бай – название языческого бога. Взамен еретического «спасибо» они предпочитают говорить «благодарю» , «благодарствуй» . Кстати, последнее слово тоже сокращение – от «благодарствую» . Кушай яблочко, мой свет. Благодарствуй за обед (А. Пушкин) .

Несмотря на то, что частица «спасибо» – неизменяемое по падежам слово, в классической литературе достаточно много примеров, на первый взгляд опровергающих это положение. Вот и жди от вас спасиба да призвания! (А. Герцен) . От хозяина моего – поклон со спасибом (Е. Замятин) . На самом деле противоречия никакого нет: слово «спасибо» порой выступает синонимом «благодарности» , а в этом случае его склонение по падежам не порицается.

«Пожалуйста» образовано от слова «пожалуй» с помощью усиливающей частицы «-ста» . «Все ли-ста здесь? » – повторил староста. – «Все-ста» , – отвечали граждане» (А. Пушкин) . Ну, а «пожалуй» , в свою очередь, является сокращением от «пожалую» , по аналогии с упомянутым ранее «благодарствуй» . Древнерусское «жаловати» означало «любить» , буквально «дарить что-либо из любви без правового основания» . Очевидно, что «пожалую» и более позднее «пожалуйста» означали «дарю, потому что люблю» .

Конечно, частица «пожалуйста» далеко не всегда употребляется в качестве ответа на благодарность, и в таком случае «пожалуй» в его корне – глагол повелительного наклонения, то есть подразумевает «подари, если любишь».