почему для площади трапеции мы ищем первообразную? если можно на примерах спасибо

Здравствуйте!

Вопрос на самом деле не сложный - сложно на него отведить так, чтоб был понятен смысл. Скорее всего загвоздка в определениях и историческом развитии интеграла. Фундаментальная теорема исчисления гласит следуюшее:

Если задана функция

F(x) = I_a^x f(t)dt

Тогда

d/dx F(x) = f(x)

Здесь точка a не играет роли. Это значит, что F(x) является первообразной функции f(x). Теперь,

F(c) - F(d) = I_a^c f(x)dx - I_a^d f(x)dx = I_c^d f(x)dx

Из чего следует, что интеграл от c до d равен разности значений первообразной на c и d. Всё это, исторически, развивалось независимо от понятия о площади под кривой. Однако, позже, было замечено что площяд под кривой между перпендикулярными y = c и y = d тоже равна этой разности!

Значит выражение

d/dx F(x) = f(x)

гласит, что рост площади под кривой, по отношению к переменной x выражается функцией f(x) - та самая кривая, под которой вычесляется площадь.

Удачи!

В. Н. Е.

Почему - первообразную? площадь - это интеграл, причём - определённый. И искать надо его.

Впрочем, уж извините, я ещё Вас запутаю. Дело в том, что классическое определение площади через интеграл с классическим определением - не совсем верно (см. работы Мандельброта - основоположника фрактальной геометрии, так называемый «парадокс площадей Шварца»).