Линейное пространство. Не понимаю определение

Отвечу через ж (начну с не самого очевидного примера).
Множество действительных чисел можно рассмотреть как ЛП над полем рациональных чисел с обычными операциями сложения действительных чисел и умножения рационального на действительное). Получится бесконечномерное ЛП над полем Q. Просто проверьте все аксиомы!

Множество действительных чисел можнотрасамотреть как ЛП над полем действительных чисел (с обычными операциями сложения действительных чисел и умножения, причем, при умножении одно число понимается как элемент поля, а другое - как элемент линейного пространства). Видимо, в учебнике это и имеется в виду. Проверьте все аксимомы!
Аналогично, любое поле можно рассмотреть как одномерное ЛП над собой.

Элемент ЛП называется вектором. Известное Вам определение вектора просто взяли и обобщили: -)
В кач-ве поля на практике чаще всего берут R или C.

Ну и никто вам не запрещает представлять "направленные отрезочки" хоть в функане, если они вам думать помогает. Просто бесконечномерное пространство представить чуть сложнее конечномерного.
Конечномерные ЛП одинаковой размерности над одним и тем же полем вообще изоморфны (в некотром смысле одинаково устроены), так что эти направленные отрезочки думать ничем не мешают, а только помогают.

Ну а уж что функция является вектором, это и ёжику понятно. Правда вектор бесконечномерный.

При слове "векторы" не надо представлять себе непременно геометрические, то есть, направленные отрезки. Векторы - любые объекты, для которых корректным образом введены две операции: сложение, и умножение на число. Причем эти операции должны приводить к векторам же.

Почему не вектор? Одномерный вектор - частный случай.

Не так.
По определению, линейное пространство V над полем F - это произвольное множество, на котором введены две операции, подчиняющиеся таким-то и таким-то свойствам-аксимомам.
А элементы этого множества называются векторами. Это обобщение понятия вектора, которое вы знали раньше.