Есть основное заданное векторное пространство V, на котором мы можем определить базисы (системы координат).
Но зачем вводят ещё дополнительный дуальный (взаимный) базис, определённый на сопряжённом пространстве V*? Я читал из многих разных источников (книги, интернет-сайты) и везде по-разному пишут. К тому же везде эти индексы и обозначения абсолютно разные - ещё сильнее путаешься...
вот взять символ Кронекера, который как раз-таки используют для введения дуального базиса. В Википедии, в книгах - везде всё различается сильно :)
(см. Фото).
Контраваринтные и ковариантные векторы из той же оперы: не могу понять смысл введения двух разных типов векторов, один из которых (ковариантный) определён на дуальном базисе.
Короче, мне нужно знать тензоры, а застрял на таких простых, но на мой взгляд существенных вещах, без которых дальше не продвинуться...
никак врубиться не могу.
Объясните плз, во-первых, для чего вводят сопряжённое пр-во и почему нам недостаточно одного заданного;
во-вторых, если на основном пространстве заданы ei, xi, f (i - индексы, e - базисный вектор, х - координата, f - линейная функция), то как аналогичные вещи будут представлены на сопряжённом пространстве?
И в третьих, в чём смысл этой чёртовой дельты Кронекера:) ?
Везде всё по-разному, мозг себе сломал уже:)
Вы же не биологию изучаете, а математику.
Просто ПРИМИТЕ эти знания, что эти объекты существуют в теории. Разберите подробно их свойства и операции с ними.
Алгебра - это ведь мат аппарат, который потом используется для исследования различных физических процессов.
например, ковариантные и контравариантные тензоры применяются в теории оболочек.
И, конечно, лучше учиться по классическим учебникам.
Тут не ответить. Читайте у: Ландау, Лифшиц "Курс теор. физики", т. 2 "Теория поля"
У вас некоторая путаница.
Дуальный базис в тензорном исчислении - это одно. Он нужен, как минимум, для корректного введения инвариантов, в первую очередь, скалярного произведения (ну и нормы).
Сопряженное пространство в линейной теории - это нечто другое. Полезно, например, для введения обобщенных функций.
Быть может, вам чем-то помогут мои популярные очерки, которые вы найдете на моей страничке:
expert-eater.nethouse.ru/page/828166
могу сказать только одно: если хотите разобраться в вопросах продвинутой математики - не суйтесь в вики. Там бывает подано максимально усложнённо и несистемно. Попробуйте найти учебник по линейной алгебре для программистов, а не математиков
expert-eater.nethouse.ru/page/828166.
весьма хорошая подборка, познакомился с удовольствием.
Пока у нас есть только одно линейное пространство, во введении сопряжённого пространства действительно мало смысла (замечу, что если уж мы ввели сопряжённое пространство, мы не можем использовать в нём базис исходного пространства, т. к. это разные множества, хотя и математически неотличимые).
Интересности начинаются в римановых многообразиях, где скалярное произведение касательных векторов определяется изначально заданной метрикой, которая может меняться от точки к точке. Чтобы скалярное произведение в том виде, к которому мы привыкли, не зависело от выбора системы координат на многообразии, приходится вводить пространство, сопряжённое к касательному, и базис в нём преобразуется при изменении системы координат не так, как в самом касательном пространстве. Ковариантные и контравариантные индексы начинают различаться (для удобства их пишут на разных высотах). Переход между ковариантными и контравариантными векторами делается с помощью метрики. Символ Кронекера совпадает с метрическим тензором, у которого один ковариантный индекс и один контравариантный (соответственно, в таком виде метрический тензор не даёт информации о метрике, т. к. определение символа Кронекера везде одно и то же).
По поводу "во-вторых": линейная функция на основном пространстве - это элемент сопряжённого пространства. Любую линейную функцию можно представить в виде скалярного произведения с фиксированным вектором (ковариантным).
Пока у нас есть только одно линейное пространство, во введении сопряжённого пространства действительно мало смысла (замечу, что если уж мы ввели сопряжённое пространство, мы не можем использовать в нём базис исходного пространства, т. к. это разные множества, хотя и математически неотличимые).
Интересности начинаются в римановых многообразиях, где скалярное произведение касательных векторов определяется изначально заданной метрикой, которая может меняться от точки к точке. Чтобы скалярное произведение в том виде, к которому мы привыкли, не зависело от выбора системы координат на многообразии, приходится вводить пространство, сопряжённое к касательному, и базис в нём преобразуется при изменении системы координат не так, как в самом касательном пространстве. Ковариантные и контравариантные индексы начинают различаться (для удобства их пишут на разных высотах). Переход между ковариантными и контравариантными векторами делается с помощью метрики. Символ Кронекера совпадает с метрическим тензором, у которого один ковариантный индекс и один контравариантный (соответственно, в таком виде метрический тензор не даёт информации о метрике, т. к. определение символа Кронекера везде одно и то же).
По поводу "во-вторых": линейная функция на основном пространстве - это элемент сопряжённого пространства. Любую линейную функцию можно представить в виде скалярного произведения с фиксированным вектором (ковариантным).
1. Сопряжённое пр-во вводят, чтобы доказать: пр-во линейных функционалов изоморфно исходному пр-ву.
2. Таких изоморфизмов много, и аналогичные вещи в сопряжённом пространстве будут представлены по-разному для разных изоморфизмов. Выбор одного из них означает выбор скалярного произведения (билинейной функции) на исходном пр-ве. Эта функция – тензор 2-го ранга, ковариантный по одному индексу и контравариантный по другому.
3. У дельты Кронекера тот же смысл, что у равенства, ничего более.
Дуальный базис требуется не в нашем мире, а около Чёрных Дыр. Там, где пространство-время сильно искривлено Гравитацией.
если знаете хоть 1 - прошу в студию ссылочку:)