Геометрический смысл работы с матрицами и применение аксиом линейной алгебры на практике

Вы бы на пункты разбили, а то трудно ссылаться.

По поводу одной из трудностей "Хотя произведение матриц некоммутативно, а значит перемножаются какие то абстрактные вещи"
Могу сказать вот что: перемножение двух матриц поворота на 90 градусов, но в разных плоскостях, некоммутативно - это вполне реально. можно даже "пощупать"

Проведите простой опыт: возьмите игральный кубик (с цифрами от 1 до 6)
Запомните начальное положение кубика.
Поверните его на 90 градусов по одной оси, (поворот 1) а потом по другой (поворот 2).
Запомните конечное положение (номер 1)
Верните кубик в изначальное положение
Повторите последовательность поворотов, только сначала выполните поворот 2, а потом 1
Запомните конечное положение (номер 2) и сравните его с номером 1.

Если Вы нигде не напутали, то результаты будут разными. В принципе, можно взять любой ассиметричный предемеит, но с кубиком нагляднее.

Это есть действие произведения матриц поворота на кубик. Я думаю, теперь все очевидно, и абстракцией тут и не пахнет - все конкретно.

Дело в том, что мы привыкли, что результат последовательных действий - сумма. А в мире матриц это произведение. Никакого физического смысла в таких названиях нет, просто так сложилось.

А по поводу суммы - тут интерпретация сложнее из-за отсутствия перенормировки. Но представьте, что просто каждый вектор базиса становится векторной суммой двух исходных. Если это перенормировать, то это что-то вроде усреднения. Но вообще, сложение матриц - операция редкая, реже чем перемножение.