Операторы, линейные и все прочие прочие, их прикладное применение? Зачем они нужны?

В конечном счете это всё находит применение при решении дифференциальных уравнений. А дифференциальные уравнения, как Вы понимаете, не берутся с потолка. Решать их заставляют прикладные вещи и народное хозяйство. Поэтому без n-мерных пространств мы пока ну никак.

P.S. Вы думаете операторы дифференцирования и интегрирования одномерные?
:))
Существуют бесконечномерные представления этих операторов. И, например, некоторые дифференциальные уравнения легче решать в бесконечномерном ортонормированном базисе с бесконечномерными представлениями этих операторов. Попробуйте, например, записать оператор дифференцирования в пространстве функций по которым идет разложение в ряд Фурье. Любое линейное дифференциальное уравнение в таком бесконечномерном пространстве решается в одну строчку (если знать, что такое матрицы и как их перемножать).

А затем, что измерением может быть любая физическая величина - длина, ширина, высота, время, импульс, электрический заряд, спин, странность, очарование.. .
И всё это вместе и сразу можно описать в рамках единой теории.
И по этой теории предсказывать развитие любой реальной системы со сколь угодно большим числом параметров.
С помощью операторов, ага.

Очень даже полезны: вся квантовая механика на них построена, а без неё не было бы у тебя ни компа, ни телефона, ни телевизора.. . ;)

любая функция - тоже оператор, а они очень часто в реальной жизни встречаются. Математиков тоже трогать не надо, чем бы дитя не тешилось.... на самом деле толк от них очень большой) пусть ковыряются дальше в своих формулах