Почему, конечное множество не является векторным пространством? почему R^3 не ассоциативная алгебра?

В векторное пространство входят все вектора, которые получаются при помощи любой линейной комбинацией любых других векторов из этого пространства. Поэтому любое векторное пространство всегда бесконечное (кроме тривиального с одним нулевым вектором) , а значит конечное множество не будет векторным пространством.
Трехмерные вектора можно складывать и вычитать. Например, покоординатно. И тут все логично и хорошо. Операция покоординатного сложения ассоциативна. А вот ввести произведение трехмерных векторов не удается. Скалярное произведение не годится, так как в результате появляется не вектор, а скаляр. Покоординатное произведение тоже не годится, так как невозможно ввести деление, когда одна из координат равна нулю. И векторное произведение векторов тоже не подходит, так как деление будет неоднозначным. Поэтому R^3 не является ассоциативной алгеброй.
Кстати, в R^2 проблем нет. Это комплексные числа.
И в R^4 тоже проблем нет. Это кватернионы.

Гоша исчерпывающе ответил

единственное, что можно добавить, так это то, что на R^3 нельзя ввести структуру алгебры с делением (ни ассоциативной, ни неассоциативной)
это следует из известной теоремы о том, что ежа нельзя причесать)))

Векторное пространство - оно всегда над каким-то полем.
Если взять конечное поле, то и конечное множество можно наделить структурой векторного пространства.
Над полем действительных чисел конечных векторных пространств не бывает.
R3 с операцией покоординатного умножения являетя ассоциативной алгеброй, а с операцией векторного произведения - неассоциативной.