Почему пустое множество равно самому себе?

Любой объект равен самому себе. Если вы признаёте непротиворечивым
понятие "пустое множество", то придется признать, что оно равно себе.
Вообще всё это - просто-напросто определения, включающие аксиомы.
Вот одна из аксиом и есть: всякое множество равно самому себе.

Определение равенства просто расширяется и на пустые множества. Наряду с"что-то равно чему-то" можно включить в это определение "ничего равно ничему". Так достигается единообразие.

Равенство -- любой элемент, даже несуществующий равен самому себе. "Равными называются множества содержащие одинаковые элементы" - не совсем корректно, это вольность речи: что такое "одинаковые элементы"? Например, одинаковые яблоки (сорта Антоновка, для определённости). в одной корзине 5 шт, в другой -7 Элементы одинаковы, но множества не совпадают. Или в записи одного числа 5 единиц, а другого -7. Единицы точно одинаковы, но множества, то, разные. Для неверного определения все ответы будут неверными.
Нужен какой-тибудь точный критерий принадлежности элемента множеству.
Например высказывание (пропозиционная формула) . Если Р (ч) верно, то элемент принадлежит множеству. Или, множество содержит только такие элементы Х, что Р (Х) верно.
Если для любого объекта Х две формулы для двух множеств совпадают по истинности, то множества равны (или, это одно и то же множество, только обозначенное по-другому) . Для пустого множества удобно считать, что оно содержит элементы, удовлетворяюзее высказыванию: элемент неравен самому себе.
Берём ТАК опеделённые два пустых множества и легко замечаем, что на универсальном множестве (т. е. для всех мыслимых объектов) значения высказываний совпадают. И, в частности, пустое множество не содержит пустого множества. (Множество не может содержать другое множество, как объект, оно может содержать только элементы из другого множества. Иначе возникает противоречие и парадокс, разобранный подробно 100 лет назад.)

потому что 0=0

Большинство теорем о пустых множествах доказываются от противного. Множества равны, если любой элемент первого множества принадлежит второму множеству. Допустим, пустое множество не равно самому себе. Тогда существует элемент X в одном пустом множестве, не принадлежащий другому. Однако такого элемента не может быть в пустом множестве: там вообще нет никаких элементов. Следовательно, наше предположение неверно, и пустые множества равны.

Любое множество по определению содержит пустое множество. В том числе и пустое множество содержит пустое множество. Так что "Но пустое множество элементов не содержит. " - не верно.