почему у воды с кусочком льда такая же высота, как и у воды с растаявшим льдом?

Предлагаю подойти к вопросу с другого конца.
Вы скажите, почему высота должна быть "не такая же", а мы обсудим-оценим, насколько это существенно: -)

Потому что при таянии льда количество воды в стакане не изменялось.

вес льда = вес воды

Какая сила давления воды на дно цилиндрической кастрюли? Правильно, ρghS. ρ - плотность воды, h - высота уровня воды. Но эта же сила равна весу того, что в кастрюле. Разве вес при таянии извеняется? Нет. Поэтому и h не изменяется.

Объём не меняется

На этот вопрос отвечает закон Архимеда.

талая вода занимает тот же объем, что и подводная часть "айсберга"

вес льда = вес воды

Закон Архимеда - тело погруженное в жидкость вытесняет объем жидкости равный весу тела. Т. е. уровень воды поднимается ровно на вес куска льда, а он равен весу воды, полученном из этого льда при таянии. Хотя, если проводить очень точные измерения, то будет разница. Ибо теория исходит из чистой химической воды, а при замерзании воды из нее уходят примеси и попадает воздух. Вес воды сам по себе разнится - вода очень сильный растворитель (из-за физической структуры молекулы в виде диполя) и чистой химической воды в природе не существует.

Плотность льда меньше плотности воды. Из-за этого и появляется надводная часть айсберга.
При таянии льда вся вода займет ровно тот объем, что занимает лед под поверхностью воды.