Помогите понять цифровой фильтр

1. _Любой_ сигнал - периодический или непериодический может быть представлен в виде спектра гармонических (синусоидальныых) колебаний, например с помощью преобразования Фурье: https://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Фурье - это раздел высшей математики.

2. В цифровой технике применяется дискретное преобразование Фурье: https://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_преобразование_Фурье - это уже относится к специальным главам высшей математики.

3. В частности, дискретное преобразование используется в математике фильтров при цифровой обработке сигналов: https://ru.wikipedia.org/wiki/Цифровая_обработка_сигналов - естественно, для этого непрерывный (аналоговый) сигнал должен быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то есть представлен в цифровой форме. Если частота дискретизации сигнала не меньше, чем удвоенная наивысшая частота в спектре сигнала, то полученный дискретный сигнал эквивалентен исходному сигналу в том смысле, что он может быть в точности восстановлен (согласно теореме Найквиста - Шеннона - Котельникова).

Чисто умозрительное представление того, что происходит при дискретном преобразовании и математике свёрток весьма затруднительно. Фактически - это векторные операции с комплексными числами, причём при быстром дискретном преобразовании применяются отнюдь не очевидные приёмы. Поэтому, либо изучайте/вспоминайте курсы высшей, дискретной и вычислительной математики, либо просто примите на веру - цифровые фильтры выполняют те же функции, что и аналоговые: только делается это не с помощью сопротивлений, конденсаторов и индуктивностей, а математическими манипуляциями с оцифрованными сигналами ;)

...частота отсчётов цифровых сигналов на выходе уменьшилась вдвое. чего не понятно?

мда. Фильтр вычисления над данными производит. А частоты, во-первых, в темпе поступления этих данных, во-вторых, есть понятие пространственных частот. И в третьих это оффтоп.

Согласно теореме Котельникова любой аналоговый сигнал может быть представлен отсчётами, взятыми с тактовой частотой не менее чем в 2 раза превышаюшей предельную частоту спектра сигнала. Например, в формате audio CD для предельной частоты звукового спектра 20 кГц частота дискретизации 44,1 кГц. на этой частоте происходит дискретизация непрерывного сигнала по уровню, а затем происходит квантование и каждому уровню приписывается свой цифровой код, длина которого умноженная на 6 соответствует динамическому диапазону в дБ, для audio CD длина 16 бит, т. е. 96 дБ.
таким образом непрерывный цифровой сигнал audio CD состоит из 16-битных отсчётов, показывающих уровень в определённый момент времени, с этими отсчётами и работает цифровой фильтр, он запоминает их и на основе повторений последовательностей во времени он вычисляет составляющие частоты спектра и производит над ними определённые программным алгоритмом математические действия.

А как вы хотите понять. Например пианино набор отдельных частот