Тот факт, что при равновесии тела или при равномерном его движении сумма всех сил, действующих на тело равна 0,

Следствием второго. Второй закон Ньютона является основным законом динамики.

тут у Ньютона полный бардак, связанный с тем, что он писал не нам, а своим современникам.

в его формулировке 1-й закон - тупо частный случай 2-го закона, если подставить нулевую силу.

по уму, в 1-м должно быть что-то типа "существует такая система отсчета, называемая инерционной, в которой верны 2-й и 3-й законы". а еще надо обратить внимание, что 3 закона по сути определение понятий силы и массы, нигде ранее они строго не вводятся (а масса вообще нигде не упоминается! Ньютону приходится потом пару страниц объяснять, что такое масса и чем она отличается от веса)

У нас есть кирпич... массой 1 кг или весом 10 ньютонов... Уточним, что значение 1 кг и 10 ньютонов получено на абсолютно одинаковых весах, с той лишь разницей, что на одних весах шкала в "кг", а на других весах шкала в "ньютонах"... Т. е. весы одинаковые. Это важно понять с самого начала, чтобы потом не было путаницы.
Если говорить относительно планеты Земля то говорят "сила притяжения Земли" подразумевая что Земля притягивает к себе этот кирпич с силой равной 10 ньютонов... он же 1 кг. Если же говорить относительно самого кирпича то говорят: "сила тяжести кирпича", подразумевая то же самое, что и в первом случае. Земля притягивает к себе кирпич, но и кирпич притягивает к себе Землю.. в ооочень малой степени, но это так и есть. Например есть два кирпича массой по 1 кг. Если между ними понизить давление создав вакуум, то среда между ними будет стремиться их притянуть одинаково, т. к. появятся всасывающие силы... Есди же между кирпичами повысить давление, то среда наоборот будет стремиться оттолкнуть эти кирпичи... друг от друга... тоже одинаково.. Т. е. состояние среды МЕЖДУ кирпичами будет определять притяжение\отталкивание между ними... а вот СИЛУ, с которой они будут притягиваться\отталкиваться между собой будут определять уже их массы. Т. е. кирпич с массой 1 кг будет притягивать\отталкивать СИЛЬНЕЕ к себе кирпич с массой 1 грамм.. Таким образом среда между телами будет определять притягиваться им или отталкиваться, но меру этого взаимодействия будут определять уже их массы.
Представьте воздушный шар... Вы накачали его воздухом и положили на весы и они Вам показали 1 кг... или 10 ньютонов. Представьте, что Вы начали нагревать воздух под воздушным шаром, и шар становится легче... и вес уже не 10 ньютонов, ВЕС, т. е. сила стала уменьшаться, а масса по прежнему 1 кг... Вектор силы Веса направлен к центру Земли, ибо работает сила притяжения оной. Вы нагреваете дальше... и при определенной температуре воздуха внутри шара его вес станет равным нулю.... и Вы вероятно скажете "веса нет, а масса есть"... То же самое в невесомости... "масса, измеренная в условиях Земли есть, а веса нет"... Но стоит начать вращать тело и динамометр (простые весы) нам покажет наличие "веса"... Нагреваете воздух в шаре дальше.. и вот шар начинает взлетать вверх... и "вес" опять появился... Вектор силы "веса" развернулся... и "вес" начал увеличиваться... но обратного знака !! но чтобы Вам вычислить это, Вам необходимо отталкиваться от эталона, от начального значения в нормальных условиях Земли, чтобы вычислить разницу на которую изменилась "масса"...
Т. е. "масса" это просто точка отсчета, значение от которого ведется отсчет ее изменения, которое называют "весом".. Или "масса" в 1 кг это точка 0 в начале координат, а вот значения на осях уже называют "весом"... В условиях Земли масса это и есть вес... реакция на опору, которая есть следствие притяжения Земли тела вместе с опорой... Т. е. вес это мера изменения массы...

Это вовсе не факт. На орбитальной станции незакрепленные тела движутся равномерно прямолинейно, хотя на них действует нескомпенсированная сила тяготения.
Просто выделяют системы отсчета, для которых это выполняется, и называют их инерциальными.

А какая разница? И из первого, и их второго одно и то же следует. Выбирай, какой тебе удобнее. Тем более, что первый закон Ньютона сейчас всё больше про инерциальные системы трактуется, а историческая формулировка - она всё более историческая. Да, сейчас очевидно, что раз сила равна нулю, то и ускорение равно нулю - это из второго закона прям так непосредственно. Но сейчас - это не тогда.

Не совсем так.
Первый закон Ньютона
"Если на тело не действуют силы или их действие скомпенсировано, то данное тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения."
Уточнённый закон
"Если на материальный объект не действуют силы или их действие скомпенсировано, то данный объект находится в покое или движется с неизменной скоростью относительно среды!"
http://televid-sib.ru/index.php?topic=40096.0