Почему потенциал не зависит от траектории?

По определению. Есть в природе такие силы, которые не изменяют механическую энергию тела (насколько изменилась кинетическая, на столько же изменилась потенциальная, но в другую сторону). Это гравитационные, электрические силы (а сила трения - нет). Такие силы называются консервативными, а соответствующие поля - потенциальными. Именно для таких полей работа сил не зависит от траектории, а зависит только от начальной и конечной точек траектории. И для таких полей можно ввести понятие потенциала.

проще не выйдет, вообще в пределах школьного курса - не докажешь.
это следствие того, что сила падает обратно пропорционально квадрату расстояния. именно при такой зависимости получается потенциальное поле, где работа по кругу не зависит от пути.

Да, Замба подошёл к вопросу вплотную. "Виной" всему формула для элементарной работы dA= F*ds*cosa. Для однородного поля это даёт, что потенциал зависит лишь от "высоты", для поля точечного источника - от расстояния до источника.
Впрочем, об этом можно читать в моей заметке "Два подхода к потенциальности поля" (ж-л "Физика в школе", №6, 1990 г.)

Например, прирост потенциала не зависит от того поднялся ты на десятый этаж пешком или на лифте.

Ответ M.L. неверен, В. З. - верен. И вообще, потенциал вводится только для таких случаев, когда энергия не зависит от пути. Так что в другом смысле это просто вопрос определения.
Физик.

В гравитационном и электрическом поле работу можно вычислять, если любую траекторию представить в виде двух мельчайших перемещений, когда сила перпендикулярна перемещению и ее работа равна нулю (cos (90)=0) и второго, когда сила параллельна перемещению, т. е. либо cos (0)=1, либо cos (180)=-1. Получается, что работа по перемещению не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела или заряда. Поэтому можно ввести понятие потенциала как работу по перемещению единицы массы или единицы заряда.