Почему сила не зависит от третьей производной радиус-вектора по времени?

Для чего вообще вводятся какие-то физические понятия, величины? Для того, чтобы иметь представление о процессе. Если рассматривать связь силы и радиус вектора, то тогда надо обратиться к дифференциальной геометрии и посмотреть, какие инварианты в дифференциальной окрестности второго и третьего порядка. Всегда надо рассматривать инварианты - именно они описывают систему. Если рассмотреть, то становится понятно, что сила напрямую связана с инвариантом - кривизной траектории. Для описания физических процессов достаточно знать кривизну (силу) . Если брать дифференциальную окрестность третьего порядка, то тогда появляется только один интересный инвариант - кручение. С точки зрения Ньютоновской физики не плоско движение - уже не интересно и не рассматривается, поэтому для кручения не вводят соответствующую физическую величину.

Вопрос скорее философский.
Действительно, в физике почему-то все основные законы записываются через вторые производные от обобщенных координат по времени.
Считается, что двойка это минимальное число дифференцирований, при которых дифференциальные уравнения уже имеют нетривиальные решения.
То есть, если бы в физике были бы только дифференциальные уравнения с первой производной, то мы имели бы очень простую тривиальную физику, где все уравнения имели бы аналитические решения и природа во Вселенной была бы простая и примитивная.
А иметь законы природы с третьими, четвертыми и более высокими производными в дифференциальных уравнениях, это для природы уже, как бы, избыточно. Это как бы излишества. Зачем иметь такие излишества, если для нетривиальности уже достаточно вторых производных.
Поэтому это скорее философский вопрос.

Она и от второй производной не зависит, и от первой. Сила это градиент потенциальной энергии - по определению. Следовательно, зависит только от радиус-вектора.

Сила-это производная импульса по времени-второй закон Ньютона. Более того, сила-это как раз то, что изменяет импульс. Поэтому стоит спросить "Почему импульс не зависит от ускорения" . Зависимость низших производных от высших сильно осложнила бы жизнь, так как уравнения динамики получились бы неявными, а то и нелинейными, и, значит, неоднозначными. Сдается мне, что это связано с законами сохранения: по крайней мере энергии, который, в свою очередь, требует однородности времени. Видимо, все другие законы сохранения-импульса и момента тоже перестали бы выполняться, а они связаны с однородностью пространства. В общем, все здание теоретической механики рухнуло бы.