Площади стран высчитываются по шарообразной модели земли или по карте Меркатора?

Точно не по Меркатору, поскольку в нём изначально заложены искажения размеров.
По шару - очень неудобно.

Но есть наряду с меркаторской проекцией т. н. равновеликая проекция. Её суть как раз в сохранении реальных размеров территорий, и потому площади на карте пропорциональны площадям в действительности. Недостаток - сильное искажение углов, из-за чего параллели и меридианы (особенно последние) выглядят не прямыми линиями, а сильно искривлёнными дугами окружностей, и направление север-юг-запад-восток определять значительно сложнее.

Самостоятельно можно определять или, по крайней мере, оценивать, площади территорий (если они неизвестны) именно по этим проекциям. Причём для удобства кто-то предложил хитроумный способ, как это сделать - аккуратно вырезать нужную территорию и взвесить на особо точных весах. Ну а коэффициент пропорциональности можно определить, вырезав квадратик со стороной, равной масштабному отрезку.

Составление географических карт изучает картография. Есть современные способы вычисления площадей, включающие автоматический обвод контуров, измерения и расчёты. Данные получают со спутников.

Все множество карт, снимков и компьютерных изображений Земли теперь объединяются понятием «геоизображения». В науке возникло новое направление, их изучающее, — геоиконика. Ведущую роль в ее развитии играют ГИС — географические информационные системы. Объединенная с базами данных, электронная карта стала незаменимым инструментом.

По законам геометрии

по шару

Часто и густо, площадь отсчитывают солдатским сапогом.

Не по шарообразной модели земли и не по карте Меркатора. Щаз со спутников съёмку делают и составляют кадастровые карты. По ним и площадь.

По аэрофотосъемке, топосъемке по данным космического наблюдения