Почему вектор скорости направлен по касательной к окружности ?

а что он должен внедриться в окружность

я тебе вчера нарисовал вывод формулы центростремительного ускорения?

возьми там формулу для вектора скорости и найди ее угол с радиус-вектором. Попросту перемножь их скалярно, получится R(cos x * sin x - sin x * cos x) = 0, то есть угол - прямой.

а из школьного вывода "на пальцах" - действительно строго не докажешь. Нужен как минимум предельный переход (у меня он спрятан в понятии производной)

Направление перемещения совпадает с вектором скорости по причине их единосущности. Ибо скорость есть свойство перемещения.

по-любому вектор кривым быть не может....

По определению. (вектор скорости) = d(радиус-вектор) /dt. С точностью до размерностей это совпадает с параметрическим определением касательной к траектории.
И это не только для окружности, это для любой траектории.
На картинке - иллюстрация.

Направление скорости и совпадает с направлением перемещения.
Только оно совпадает в промежуток времени стремящийся к нулю по длительности (но не равный нулю) - dT. В следующий промежуток времени будет уже другой участок и другое направление = другой вектор. Но рисуют то только один вектор, для понимания. Нет никакого смысла рисовать весь веер векторов.
Ответ не тебе, а вообще ответ на вопрос для тех кто заинтересуется.

Тело может вращаться вокруг другого, только если на него действует сила со стороны этого тела. Это может быть гравитационная сила, сила упругости нити...
То есть эта сила, называемая центростремительной, только изменяет направление скорости, сохраняяее величину. Если вдруг исчезнут гравитационные силы или оборвется нить..., ничто не помешает телу продолжить движение по прямой, то есть по инерции с той же скоростью.
Почему по касательной? Но это не противоречит тому, что вектор скорости совпадает с вектором перемещения.
Если мы разделим окружность на маленькие участки, а это уже прямые, то на каждом этом участке, вектор так называемой мгновенной скорости будет совпадать с вектором перемещения.

а вы проверте на практике

Что, Вовка, продолжаешь тупить?
Учебник читать не пробовал?
А, ну да, чукча писатель...