Почему угловая скорость направлена вдоль оси вращения?

На самом деле угловая скорость (как и ряд других физических величин, к примеру магнитное поле) не вектор, а антисимметричный тензор 2-го ранга. Но такой тензор имеет 3 существенных параметра, так что его можно ради простоты заменить вектором (как говорят, дуальным тензору). Но это не настоящий вектор, а так называемый псевдовектор, или аксиальный вектор. Его природа - не направленный отрезок, а ориентированная площадка. Угловой скорости отвечает как бы площадь в плоскости вращения. Для единообразия ее изображают тоже "вектором", нормальным к этой площадке.
Короче примите это как особенность математики.

На самом деле она туда не направлена, это псевдовектор. А нужно это, чтобы получить скорость точки через векторное произведение:

v = [w x r]

Серьёзно? Сейчас проверим... Да, круто.... Математика берет верх над наглядностью...

А куда её еще направить? Ну серьёзно. Других направлений же нет, которое бы универсально описывало движение вращающегося тела.
По касательной никак, т. к. как тогда выбрать конкретное направление? Не веером же 100 векторов рисовать. Под углом к оси вращения - вообще не понятно. Остаётся одно единственное направление вдоль оси.

сам посуди: 1. угловые скорости всех точек тела одинаковы, 2. тело может вращаться или по часовой стрелке или против часовой стрелки, т. е. угловая скорость имеет только два направления, в силу 1. одинаковые для все точек тела. вот и разумно взять одно направление вдоль оси вращения в одну сторону, а второе - вдоль той же оси, но в противоположную сторону.