Может ли максимальный угол наклона оси вращения Земли к эклиптике увеличиться хотя бы на 1''？В каком случае？

Наверное может, так то по телевизору говорили угол наклона поменялся, как то по каменной породе поняли . А вот причину не называют.

Какие секунды?!

Ищи и читай "Прецессия земной оси".
Вот цитата: "Гравитационные поля Солнца и Луны, находящихся в плоскости эклиптики, воздействуют на этот пояс, как бы стремясь повернуть земную ось вращения и привести ее в перпендикулярное эклиптике положение. Это и заставляет земную ось описывать конус с углом около 47 ГРАДУСОВ при вершине, совпадающей с центром Земли, за промежуток времени 26 тыс. лет. Через 4000 лет северный полюс мира окажется в созвездии Цефей, а через 14000 лет - около звезды Вега из созвездия Лира. Даже ЗА СТО ЛЕТ положение Полярной звезды относительно северного полюса мира заметно изменилось. Полюс стал ближе к Полярной звезде на тридцать угловых минут."

Анна Бородина верно подметила - утверждение неверное: "В точке летнего солнцестояния угол наклона оси вращения Земли к эклиптике (плоскости вращения Земли вокруг Солнца) достигает максимального значения — 23°26'12''"

Угол наклона ВСЕГДА равен указанной величине. А вот в момент летнего солнцестояния СКЛОНЕНИЕ солнца действительно доходит до этой же величины.

А что касается того, может ли угол наклона меняться - да, может, и это называется нутация. Что касается её величины, вот например цитата:
"Кроме медленного прецессионного движения ось вращения Земли испытывает и периодические колебания нутацию с гармониками, основные из которых имеют периоды 13,7 суток, 27,6 суток, 6 месяцев, 1 год, 18,6 лет. Гармоника с периодом 18,6 лет имеет максимальную амплитуду 9". Остальные нутационные гармоники имеют меньшие амплитуды. В результате нутационного движения ось вращения описывает сложные петли в пространстве (рис. 2,а)."

То есть вся эта котовасия - порядка 10 угловых секунд.

Цитата отсюда - http://www.astronet.ru/db/msg/1195760

_______________________
2021-06-28_12:29

Мало того — Земля прецессирует, как волчок.

А кроме того, за счёт Луны, которая смещает центр масс Земли так, что их общий центр масс лежит на глубине 1700 км от её поверхности. Вокруг него они и вращаются при двужении по эклиптике.

Вообще-то, угол наклона оси меняется на два с лишним градуса (от 22,1 до 24,5 градусов примерно) с периодом около 40 000 лет. См Циклы Миланковича. Сейчас убывает. Что влияет на климат - увеличение наклона приводит к чуть большему облучению полярных областей.
Плюс уже упомянутая нутация.

врешь "В точке летнего солнцестояния угол наклона оси вращения Земли к эклиптике (плоскости вращения Земли вокруг Солнца) достигает максимального значения — 23°26'12" ---дело совсем не так.