За сколько примерно лет Солнечная система приблизится к центру Млечного Пути на расстояние в 10000 св. лет?

Она и не собирается приближаться.

С какого перепуга она вообще должна приближаться??? Летает себе по сильно некруговой траектории, но не приближается и не удаляется.

Земля с Луной крутятся вокруг Солнца и не собираются на него падать. Аналогично Солнечная система не собирается падать к центру галактики.

Она удаляется от центра а не приближается к нему...

Вопрос о том, приближается к центру или удаляется Солнце от центра Галактики, вряд ли может быть разрешен нынешними средствами из-за недостаточной точности.
По умолчанию Солнце движется по более-менее стабильной орбите (эллипс с наложенными 4-5 колебаниями вверх-вниз относительно диска), исключая возмущения от звезд и скоплений. Приближаться оно могло бы из-за трения о межзвездный газ (как в протопланетном диске, но гораздо слабее), но, насколько знаю, такой эффект в Галактике не замечен. Солнце может очень слабо удаляться, поскольку общая масса звезд Галактики со временем чуть-чуть убывает (масса переходит в излучение).

С какой стати она должна приблизиться? Она может улететь на край, или болтаться туда-сюда и вообще очертить какую угодно траекторию.
Известная задача трех тел с трудом решается на суперкомпьютерах, а ты хочешь посчитать траекторию в галактике на миллиарды лет.

А почему она должна приближаться к чёрной дыре? Солнце и остальные звёзды имеют стабильные орбиты, а значит их радиус не уменьшается. Солнце так и будет вращаться вокруг центра галактики, только если не произойдёт гравитационный манёвр с другой звездой или столкновение с галактикой Андромеды.