Что такое квадрат модуля?

"Например, средняя напряженность электрического поля равна нулю, но квадрат модуля напряженности электрического поля в среднем ненулевая."

Напряженность - векторная величина. И средняя напряженность электрического поля - это тоже векторная величина. Когда говорят "средняя напряженность электрического поля равна нулю", имеют в виду, что она равна нулевому вектору.
А модуль напряженности (как и его квадрат, как и квадрат модуля, усреденный по времени) - число.

Приведу аналогию из кинематики: средний квадрат модуля скорости точки при равномерном движении ее с ненулевой скоростью по окружности не ноль, а средний вектор скорости (за каждый оборот) - нулевой.

можно это вообразить как дисперсию.
типа, чем больше квадрат модуля, тем более лохмато вокруг нуля себя ведёт величина.

квадрат модуля - мера НЕРАВНОМЕРНОСТИ

Вот у бомжа денег в среднем за месяц - 0. Квадрат модуля богатства - тоже 0.
Его благосостояние - равномерно

Вот у Вас в день ЗП - куча денег, в середине месяца деньги кончаются, а в день перед ЗП Вы в долгах. В среднем тот же ноль, но квадрат модуля - огромен. Ваше благосостояние сильно меняется в течение месяца ツ

Пока мы не выходим за пределы действительных чисел (не ходим в область теорий функций кромплексного переменного), квадрат модуля величины и квадрат величины - это одно и то же. x² = |x|².
Для комплексных величин это не так. А где вы с этим встретились? Чаще всего это в квантовой механике используется, типа вероятность обнаружения частицы пропорциональна квадрату модуля волновой функции частицы.