Можно ли найти последующий квадрат числа, зная только сам квадрат и не зная ни корня числа, ни его предыдущего квадрата?

ну, выражения x1 = (n-1)^2 и x2 = (n+1)^2 являются решениями квадратного уравнения:
x^2 - ax + b = 0
где a = 2(n^2+1), b = (n^2-1)^2
решение этого квадратного уравнения может быть записано в виде цепной дроби:
x = a - b/x
откуда получается простой алгоритм: насчитываем коэффициенты, затем итерационным процессом ищем искомое значение.

например, пусть нам известно n^2 = 9
коэффициенты уравнения:
a = 20, b = 64
итерационный процесс:
x_0 = a/2+1 = 11.0
x_1 = a - b/x_0 = 14.1818181818
x_2 = a - b/x_1 = 15.4871794872
x_3 = a - b/x_2 = 15.8675496689
x_4 = a - b/x_3 = 15.9666110184
x_5 = a - b/x_4 = 15.991635299
x_6 = a - b/x_5 = 15.9979077309
видим, что процесс сходится к 16, значит, (n+1)^2 = 16

тут, правда, надо отметить, что этот итерационный процесс - не самый шустрый. но можно использовать, скажем, метод Ньютона - он тоже не требует вычисления корней, и достаточно быстро сходится.

Мы "не знаем", что 196 есть квадрат 14, но можем установить это, делением 196 последовательно, скажем, на 11, 12, ..(если речь о натуральных числах). А далее, как вы сами уже написали: 196+2*14+1= 225. Другого способа не знаю. Разве что применение разложения в ряд, о чём пишет Адаменя. Только жаль, что он лишь пишет об этом, но не развивает это до решения какого-либо простейшего примера.

да конечно
если у нас есть таблица квадратов
и мы не зная просто посмотрим ближнее число
как примеру если 9 меньше 16 значит не оно а если 25 то оно больше 16 значит следующее

бред какой-то, квадрат числа это операция над числом, а результат равен какому-то другому числу, именно равен, а не есть то число