Почему в квадрате?

Потому, что интеграл от v равен v^2/2

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который прошло тело за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела dA=dT. Используя закон Ньютона F=m(dv/dt) и yмножая обе части равенства на перемещение dr, получим

F dr=m(dv/dt)dr = dA

Т. к. v=dr/dt то dA=mvdv= dT, откуда T= int(0-v)(mvdv)=mv2/2

Деточка, это НЕШКОЛЬНЫЙ уровень физики. Поэтому в школе формула кинетической энергии ПОСТУЛИРУЕТСЯ. Говорится школярам: вот так надо считать - и привет)) А вот в ВУЗе - выводится))) Поступишь в ВУЗ на соответствующую специальность, выучишь курс ВЫСШЕЙ физики - будешь знать. А если не поступишь и не выучишь - тебе этого и знать не надо)) В жизни не пригодится это знание. Знание САМОЙ формулы может пригодиться - а вот ПОЧЕМУ она именно такая - нет)))

энергия скорости квадратична.. как например заряд обратно пропорционален квадрату расстояния

потому что без квадрата это будет импульс (с точностью до мультипликативной константы)

F = m*a = m * dv/dt
A = F*ds = m * dv/dt * ds = m * dv * ds/dt

если разбить это движение на настолько короткие участки, что на каждом из них движение тела можно считать равномерным (не ускоренным), то получим для каждого участка равенство
ds/dt = v

тогда работа выполненная на каждом коротеньком участке будет равна
A = m * dv * v = m*v * dv

ну а чтобы найти полную работу, нужно посчитать интегральную сумму:
A = ∫m*v*dv = m*v²/2

Вот мы и вывели указанную формулу :)

A=Fs=ma*s
С учётом что а=(v²-v0²)/2s
A=m*((v²-v0²)/2s) *s=mv²/2-mv0²/2=E-E0
Отсюда видно, что
Е=mv²/2