R в квадрате в законе Кулона, почему ?

Потому что у нас пространство трёхмерное и силовые линии, выходящие из точки "проецируются" на сферу, площадь которой пропорциональна квадрату радиуса. Густота линий убывает с квадратом расстояния.

Такое вот свойство у всех полей, что они ослабевают пропорционально квадрату расстояния от источника.

Есть такой закон сохранения массы. Поле - это тоже масса. Поэтому есть закон сохранения поля. Если поле находится на сфере и радиус сферы увеличивается в 3 раза, то площадь сферы увеличиваеся в 3*3=9 раз.

А поскольку общее количество поля остаётся прежним, то на одном квадратном миллиметре его количество уменьшается в 9 раз

Для любого заданного пространства есть только один закон взаимодействия, при котором силовые линии не исчезают вникуда и не появляются изниоткуда, когда нет источников и стоков. В трехмерном пространстве такой закон: 1 / r^2.
А насчет потенциала... минус градиент потенциала должен дать напряженность, поэтому потенциал выглядит так, как он выглядит.

Ну, если закон обратных квадратов для напряженности не вызывает вопросов, то кто тебе мешает проинтегрировать напряженность вдоль радиального направления?

Это вполне по зубам десятикласснику. А градиент потенциала в ответах выше - это уже для первокурсников, хотя, в принципе, это о том же самом.

Кстати, закон обратных квадратов, по-хорошему, должен выводиться не из теоремы Остроградского-Гаусса, к которой прикручены сбоку альтернативно сформулированные уравнения Максвелла, а сами уравнения Максвелла должны бы выводиться из квантовой электродинамики.
Ответ на вопрос "почему такой-то физический закон существует" дает обычно физ. теория, _уточняющая_ этот закон.

Ньютон просек сей момент и запатентовал в своих "Началах...", а Кулон просто передрал с него, а чтоб Патентные не придирались заменил G на k