Импульс тела = m*u. Кинетическая энергия = m*u^2. В чем разница и почему в квадрате?

Будем считать, что работа на проделывание дыры в глине пропорциональна длине дыры.
Если шарик со скоростью 10 м/с делает дыру 5 см, то шарик со скоростью 20 м/с делает дыру в 2^2 = 4 раза длиннее, то есть 20 см.
Это подтверждено практикой изготовления противотанковых орудий. Увеличение скорости полета снаряда резко повышает бронепробиваемость.
В чем разница? Импуль связан с однородностью пространства - важно направление скорости.
Кинетическая энергия связано с однородностью времени - направление скорости не важно.
Ну и, конечно, по определению d(кин_энергия) /d(скорость) = импульс.

Месяц прошел.

Импульс тела не mv.

Таково определение (в ньютоновской механике, школьный курс).
А смысл в том, что есть сохраняющаяся векторная величина и сохраняющаяся скалярная (числовая) величина.
Если посмотрите внимательно на эти формулы, то здесь квадрат векторной величины является скаляром.
И еще на 2 кинетическую энергию поделите, но это мелочи.

Глубина ударного кратера сильнее зависит, скорее, от энергии (в меньшей степени от импульса). Но не вот так вот прямо пропорционально. Даже объем так просто не оценить.

Не нужно искать скрытые смыслы в том, что на что умножается и в какой там всё степени. Настоящий смысл один и он очень простой: в замкнутых системах, то есть в таких системах, на которые не действуют внешние силы, должно быть что-то, некоторые характеристики, которые не меняются со временем, сохраняются. Раз система "законсервирована" сама в себе, совершенно естественно предположить, что что-то в ней должно не меняться, оставаться постоянным. Такими сохраняющимися величинами являются энергия, импульс, угловой момент, и т. д. Не было бы абсолютно никакого смысла говорить о них (и вообще вводить эти понятия), если бы они не сохранялась.

В примере с шариком и глиной задача недоформулирована. Но это и не важно. И энергия, и импульс, и всё остальное у системы глина+шарик сохраняются.