Не могу понять смысл физической формулы ускорения: 9,8 м/с2. Причем тут квадрат?

Давай так попробуем.
Скорость знаешь что такое? Сколько метров за секунду проходит тело. (расстояние за время если обще). На сколько изменяется твоя координата за определённое время.
А ускорение это скорость скорости. Т. е. насколько изменяется скорость за время. Т. е. ускорение это скорость/время=v/c
а v=v/c то есть получается что ускорение=v/c=(м/c)/c именно так (м/с) в секунду, а дальше уже просто по правилам математики получаем запись м/с^2

Это единицы измерения, деточка. Вот смотри, скорость показывает как изменяется путь, измеряемый в метрах, за единицу времени (секунду). Поэтому скорость измеряется в метрах в секунду м: 1с=м/c, верно? А ускорение показывает как изменяется УЖЕ сама СКОРОСТЬ, измеряемая в метрах в секунду, за ту же единицу времени (секунду). Вот и получаются метры в секунду за секунду м/c:1с=м/(c*c)=м/c^2...
Запомни: ускорение показывает как меняется скорость в единицу времени точно так же как сама скорость показывает как меняется путь в единицу времени))

Не "в первую секунду летит", а ЗА первую секунду разгонится от НУЛЯ до 9,8 м/с. За вторую секунду - от 9,8 м/с до 19,6 м/с. То есть, ускорение - это увеличение скорости (которая и так в м/с) за одну секунду.
Кстати, раньше так и говорили: "9,8 метров в секунду за секунду".

секунда в квадрате это РАЗМЕРНОСТЬ https://slovar.cc/enc/bse/2034824.html
и
https://ru.wikipedia.org/wiki/Размерность_физической_величины

в самом деле, скорость это метры, деленные на секунды
а если скорость поделить на время, то получим ускорение - математически секунды станут квадратными

а насчет ускорения свободного падения, которое типа мол каждую секунду скорость тела увеличивается (или уменьшается) на 9,8 м, НЕ ЗАБЛУЖДАЙСЯ
это чисто теоретическая величина, выводимая росчерком ручки на бумажке
причем, с одной стороны g=const, а с другой g переменная величина, колеблющаяся от 4,9 до 14,7 м/с^2
https://ru.wikipedia.org/wiki/Ускорение_свободного_падения

эксперименты для определения g не проводились, и не проводятся, точнее - не поощряются
ведь тогда рухнет вся средневековая физика

Ускорение показывает как БЫСТРО меняется скорость!

При вычислении ускорения вы делите скорость на время. То есть [м/с] /[с] = [м/(с*с)] = [м/с^2].

9,8х2
9,8х4
9,8х16
...

То есть каждую секунду скорость тела увеличивается (или уменьшается) на 9,8 м/c.
Не на 9,8 м, а на 9,8м/с! Т. о., = (м/с) /с = м/с^2. Элементарно, Ватсон.