Поясните, пожалуйста, в чем смысл или необходимость возведения в степень

Вот Вы что-то придумали и сразу в этом же и запутались :) Рассматривайте операцию исходя из её определения. В арифметике, если не ошибаюсь, есть 2 базовые операция: сложение и сравнение. И даже сложение аксиоматически, вроде, определено только для операции a+1, из которой выводится определение операции a+b.
Вычитание - обратная сложению
Умножение - сокращённое сложение. 2+2+2+2+2...+2 = 2*n
Деление - обратная к умножению
Возведение в степень - сокращённое умножение: 2*2*2*2....*2 = 2^n
Нахождение корня - обратная к возведению в степень
Тетрация - сокращённое возведение в степень 2^(2^(2^(2^(2...^2)))) = 2↑↑n

Но вот у тетрации уже обратной функции вроде нет :)

И не надо придумывать множества там, где они только запутывают. Вы бы сюда ещё группы и матрицы бы добавили, так вообще каша получилась бы, ведь для них эти операции переопределяются совсем иначе, а некоторые и вовсе не определены :)

Все знают закон ома U=RI
Мощность есть P=UI
Если ты имеешь известое R и например U, а нужно вычислить мощность, тебе придётся вначале вычислить ток I и только потом вычислять нужное тебе P. Но если ты сделаешь всего лишь преобразование в два шага, то увидишь, что ненужно делать лишних вычислений : достаточно U²/R. Это и будет мощность P.
Это – простейшее. Есть много чего более сложного..

>Поясните, пожалуйста, в чем смысл или необходимость возведения в степень
Многие инженерно-математические и экономические расчеты просто невозможно произвести иначе.

>То есть возведение числа в некую степень n означает, что число перемножается само на себя n раз.
Это верно только для целых степеней. С дробными все несколько интереснее.

>Почему мы изучаем, например 3^4 = 3*3*3*3, а не 3*3*4*7?
По определению возведения в степень.

А площадь квадрата со стороной a - сколько будет? А объём куба с такой же стороной?

А отношение веса двух людей, один из которых втрое меньше другого?

ну и не возводи в степень!...
есть процессы, которые пропорциональны x^2 или x^3...
x - физическая величина...

и пошли куда подальше логарифмы, и прочую математику...
довольствуйся сложением, вычитанием...

Если в каждом математическом действии искать смысла или необходимости, то математику вообще изучать не стоит.
Человек вложил в банк 1000 манатов под 5% годовых. Через 10 лет у него в счету будет 1000*1,05^10= 1628,89 маната.
Код замка состоит из четырёхзначного "числа", содержащего цифры 0, 1 и 2. Код забыли. Сколько максимального числа вариантов придётся перебрать, чтобы открыть замок? Ответ: 3^4= 81.