Белый цвет потому белый, что отражает весь спектр? А зеркало почему не белое?

Потому что зеркало отражает луч в одну сторону, а белый лист рассеивает его на целое полупространство.

Зеркало как раз вполне себе белое.

Когда у зеркала более-менее постоянная спектральная характеристика отражения в видимом диапазоне (что, в общем, не обязательно) - если падающий свет был белым, отражённый тоже будет белым.

Белый цвет потому белый, что отражает весь спектр во всевозможных направлениях. А зеркало - нет... Ответ Тадасаны прочёл позже. Да, точнее, "на целое полупространство".
Хотя есть и белые шарики...

малая шероховатость

Зеркало не просто отражает лучи. Оно перенаправляет лучи света по законам зеркального отражения (угол падения равен углу отражения) независимо от их спектрального состава. Таким образом, за зеркальной поверхностью возникает мнимое изображение окружающей среды.
Помести зеркало в однородную белую среду (скажем, в освещенную белым светом комнату с белыми стенами, полом и потолком) - оно будет белым.

Белая поверхность рассеивает падающий свет во все стороны. Перенаправления лучей по законам зеркального отражения при этом не происходит.
Такое отражение называется диффузным.

Между прочим, белый цвет только тогда белый, когда ты освещаешь его белым светом (то есть смесью света различных длин волн, да ещё в определенных пропорциях).
Освети белую поверхность красным светом - она будет красная. Зеленым - зеленая. Ну и тд.
Отличительной особенностью белой поверхности является то, что она отражает (диффузным образом) свет равным образом, независимо от длины волны падающего света.

зеркало "умное белое". оно не поглощает. а так цвет у него зеленый

Мы не можем увидеть цвет зеркала, так как мы увидим только отраженный свет, себя, и все вокруг.

Что бы ты себя видел, вот почему не белое.