Почему, если делимое уменьшить вдвое, а делитель увеличить вдвое, частное не изменится (или что-то в этом роде)? Почему?

Не так.
Деление - операция, обратнаая умножению.
Пусть b = c/a, заметим, что a - не ноль
Тогда a*b = c
Тогдп 2*(a*b) = 2*с
Тогда (2*a)*b = (2*c)
Тогда b = (2*c)/(2*a)
Получили c/a = (2*c)/(2*a)

Еще полезно физический и экономический смысл умножения и деления вспомнить на примерах времчя, скорость, расстояние; цена, количество, стоимость.
И, конечно, геометрический - клеточки в прямоугольнике подсчитаывай.

>Почему, если делимое уменьшить вдвое, а делитель увеличить вдвое, частное не изменится
Частное уменьшится в 4 раза по модулю, если только делимое - не 0.

>(или что-то в этом роде)? Почему?
Потому что ты что-то где-то краем уха слышала, но даже воспроизвести это не можешь.

6/3=2. Делимое 6, делитель 3. Делимое уменьшаем вдвое, 6/2=3. Делитель увеличиваем вдвое, получаем 3*2=6. То есть получаем 3/6. А это уже ни фига не 2, что было частным в первом случае. Вопрос - о чём ты, чёрт возьми, вообще?.

Если ОБА увеличишь вдвое, тогда не изменится
12:4 = 3
24:8 = 3

возьмем пример 4/4
уменьшаем делимое и увеличиваем делитель
2/8... что то тут не сходится

В крестьянском способе речь идет про умножение, тогда это работает

Вы немного путаете. Если делитель умножать, а делимое делить и наоборот - частное изменится либо в большую, либо в меньшую сторону...
Не меняется только если и делитель и делимое одновременно делить или одновременно умножать на одно и то же число... этот случай объясню так... у вас есть торт... вы его разделили на 3 части... потом каждую еще на 3... итого 9 частей... если вы возьмете 3 части после последней дележки (до 9 частей) вы возьмете как раз ту 1-ну часть, которая получилась при первой дележке (до 3х частей)... в дробях это выглядит так:
3/3 = 9/9 = целый торт 1/3 = 3/9 (те самые куски, о которых я писала).

-____-