Почему реки текут тысячелетиями? Что заставляет исток реки лить воду тысячи лет и не прекращать?

У рек есть водосбор, или бассейн - площадь поверхности суши, вода с которой попадает в ту или иную реку. Бассейн реки Волги, например, более миллиона кв. км.. Где-то на этой площади льет дождь, где-то тает снег, где-то льются ручьи с горных ледников и т. д. В отдельности это очень стохастические процессы, но если суммировать, то получается в среднем один и тот же водорасход.
К примеру, примерно по той же технологии работает электрическая сеть России: у нас действует трехфазная электрическая цепь, для которой важно, чтобы потребление электричества в каждом из трех потребителей было одинаково, иначе произойдет смещение нуля и очень неприятная вещь со скачками электроэнергии. В качестве потребителей выступают различные жилые кварталы, например. Казалось бы, что в каждом доме работают свои электроприборы (чайники, утюги, кто-то варит в мультиварке и т. д.), но в принципе суммарное потребление трех кварталов с одинаковым количеством жителей остается практически одинаковым в каждый момент времени и скачков напряжения мы наблюдаем не так часто, как это можно было бы предположить.

Откуда энергия? От Солнца. Как и вообще почти вся энергия на планете. Бензин, например - тоже солнечная энергия.

этот момент не описан

скорее всего, все реки берут начало с возвышенностей и гор
в горах ледники
на возвышенностях, видимо, подземные озера

часто истоки рек в горах, а там ледники, и рельефы так быстро не меняются. Равнинные же реки положение русла меняют, меандрируют, и наверное для их функционирования важнее климат а изменение местности. И собственно тысячи лет для геологии не очень то и много.

Круговорот воды в природе вероятно
https://ru.wikipedia.org/wiki/Круговорот_воды_в_природе

луна перемешивает

Вы слышали про круговорот воды? Так вот если не слышали: из подземных источников и гор стекает вода в реки, река падает в озеро, море океан, из за солнечных лучей вода испаряется и конденсируется в виде облака затем идут дожди вода попадает в реки и горы такой круговорот продолжается тысячами лет.