Тело погружается в воду. Настанет ли момент, когда вес столба жидкости уравновесит силу Архимеда?

Разумеется, нет.
"Вес столба жидкости" вовсе не давит на тело сверху, вес столба жидкости создает давление, действующее в полном соответствии с законом Паскаля, в каждой точке по всем направлениям. Столб жидкости создает в точке такое же давление снизу вверх, как и сверху вниз, а тело, погруженное в жидкость (или газ) не расплющивает, а равномерно сжимает со всех сторон.
Архимедова сила возникает потому, что любое тело, обладающее объемом, испытывает большее давление на свою нижнюю часть, чем на верхнюю (нижняя часть находится по отношению к верхней на большей глубине). Но давление на верхнюю часть направлено вниз, а давление на нижнюю часть - вверх, при их интегральном суммировании и получается Архимедова сила.
То, о чем пишет Николай Чайковский, относится к совершенно другому явлению, связанному с тем, что вода в морях и океанах располагается не смешивающимися слоями, на определенной глубине залегает слой воды с большей плотностью, лодка ложится на него и может прекратить погружение. А может продолжить, приняв дополнительный балласт. Вообще же, если говорить о лодках и подводных аппаратах, на большой глубине Архимедова сила несколько уменьшается за счет уменьшения плавучего объема от всестороннего сжатия.

Так что давление "столба жидкости" не действует одновременно с силой Архимеда, а порождает ее.

Зависит от свойств тела. Если оно сжимается под давлением сильнее, чем вода, то его плавучесть будет только ухудшаться с глубиной. А если тело противостоит сжатию лучше, чем вода, то плавучесть будет возрастать с глубиной. В этом случае уравновешивание ВОЗМОЖНО.
Напоминаю, вода сжимается очень плохо - примерно как сталь. Если твой подопытный предмет ПРОЧНЕЕ цельнолитого куска стали, и при этом весит НЕНАМНОГО больше воды - то у него есть шанс уравновеситься на какой-то глубине.

да

Сила Архимеда и заключается в разнице давления воды на верх тела и низ тела. На низ тела давление действует большее чем на верх, от сюда и выталкивающая сила, если она будет больше силы тяжести, действующей на тело, то тело будет всплывать.

ты ломишься в открытую дверь... сила Архимеда уравновешена именно этим "столбом"...

Нет.
Вес столба жидкости, стоящего на теле сверху - это слагаемое в силе Архимеда, да и то, не совсем. Оно может в определенный момент в сумме с силой Архимеда дать нулевую силу, но это не называется "уравновесит", потому что такая сумма не имеет никакого отношения к принципу суперпозиции сил.

В формулировке вопроса смысловая ошибка в слове "также".

На тело столб давит со всех сторон, а не только сверху.

Эти силы вообще нельзя складывать или уравновешивать. Поэтому ответ - нет.

Сила архимеда может быть уравновешена только силой тяжести, тогда всплытие прекратится.

Так работают подлодки. Средняя плотность подлодки примерно равна плотности воды. Хотя плотность воды с глубиной изменяется очень мало, тем не менее подводники ухитряются подстроиться под это изменение, регулируя глубину погружения.
Рыбы регулируют глубину при помощи воздушного пузыря.

если тело не сжимается - нет

Дурь полная!
Вес столба жидкости, находящейся над телом, это сила, с которой столб давит на тело.
Архимедова - сила, с которой вся вода в сосуде (включая указанный столб) давит на тело.

Они друг друга не уравновешивают, потому что друг с другом не складываются!!!,