Нижняя часть космического лифта с дирижаблями.

Можно. Правда, дирижабли понадобятся оченно огромные, и их потребуется систематически обслуживать. Но это проблемы не решит, т. к. их помощь ограничится лишь первыми десятками километров. Последующие ТЫСЯЧИ - таким способом не поддержишь.
Хуже того. Чтобы центральная станция осталась в равновесии, понадобится одновременно протянуть трос-противовес в удаление от Земли. С грузом на конце - компенсирующим убывание тяготения с расстоянием, т. е. реально большим. И этот трос будет испытывать ТАКИЕ ЖЕ растягивающие усилия. Которые уже нечем сократить.
Так что единственное решение данного проекта - это поиск материала, способного держать эту нагрузку самостоятельно.

Это ничего не решает. Расстояние от поверхности Земли до геостационарной орбиты -- чуть меньше 36 тысяч километров. Мировой рекорд высоты полета лапупындры легче воздуха -- 53 километра (0.15% расстояния до геостационарной орбиты), причем ента конкретная лапупындра полезной нагрузки несла с гулькин хвост. Коммерческие дирижбандели, тем временем, вообще летали на минимальной высоте. У "Гинденбурга", например, типичная высота крейсерского полета была 200 метров...

Трос будет неподвижен относительно Земли и орбитальной станции. И он не порвется, подберут сверхпрочный материал и все будет зашибенно

На дирижабль нет смысла - минус 50 км относительно 40-60 тысяч особо не помогут, зато появятся проблемы со сдуванием дирижаблей ветром и возможными их авариями. А вот вариант с установкой нижнего конца на плавучей платформе рассматривается - так расширяется доступное для строительства поле, поскольку лифт должен быть на экваторе, в дружественной и надежной стране и желательно должен иметь к западу и востоку от себя много незаселенных территорий или океан - на случай падения.

Нет, такая система будет динамически неустойчива.