Найдите объем тела, ограниченного поверхностями

x² + y² = a²
8 - a² = a²
a = 2

h = z₁ - z₂ = √(8 - a²) - a

Если мы разделим весь объём на вертикальные кольца (параллельные оси Oz), то h и будет высотой кольца с радиусом a. Чтобы узнать объём кольца, нужно умножить высоту на длину окружности и на толщину:
dV = (√(8 - a²) - a)*2*pi*a*da
V = ∫(2; 0; (√(8 - a²) - a)*2*pi*a*da)
8 - a² = b
-2a*da = db
da = -db/(2a)
V = ∫(8-2²; 8-0²; -(√b - √(8 - b))*pi*db) = pi * ∫(4; 8; (√(8 - b) - √b)*db) =
= pi * (∫(4; 8; √(8 - b) * db) - ∫(4; 8; √b * db))

c = 8 - b
dc = -db
V = pi * (-∫(4; 0; √c * dc) - ∫(4; 8; √b * db)) =
= pi*(-(2/3 * 8) + 0 - (2/3 * 8 - 2/3 * (2√2)³)) =
= pi*(2/3 * (2√2)³ - 32/3) = pi*(32/3 * √2 - 32/3) = 32*pi/3 * (√2 - 1)

это если нигде не ошибся (я очень большой любитель допускать ошибки при замене переменной в интеграле :)), но тут вроде всё норм должно быть)

там много нудной работы: найти пределы интегрирования, перейти в цилиндрические координаты, выписать якобиан преобразования и взять тройной интеграл.

короче, надо сначала проинтегрировать r по z в пределах от r до sqrt(8-r^2)
потом проинтегрировать полученную ботву по r в пределах от 0 до 2
и наконец проинтегрировать всё по фи в пределах от 0 до 2п

в общем, вольфрамальфа справится лучше.