От куда взялись синусы, косинусы, тангенсы? Кто их изначально придумал, и как их считают, что бы вносить их в таблицы?

Синусы и косинусы появились как решения дифференциальных уравнений:

y''(x) = -y(x)

Их высчитывают с помощью вот таких специальных бесконечных рядов.
!

А вычисляли их для внесения в таблицы (хотя все давно пользуются калькуляторами) по специальным формулам.

греки и арабы очень давно
https://ru.wikipedia.org/wiki/История_тригонометрии

Измерение углов в градусах невозможно определить людям без транспортира. А вот при наличии линейки, легко построить угол зная его синус, или косинус.

А известные значения в таблицах нужно были артиллеристам для проведения прицельной стрельбы на дальние расстояния.

Есть простой тест на понимание синуса и косинуса. Попросите школьника нарисовать линию косинуса для произвольного треугольника (не прямоугольного). Если он этого сделать не может - он не понимает, что такое синус и косинус.
Итак, школьные учебники не дают информации для понимания понятий "синус" и "косинус". Основное понятие тригонометрии (и элементарное понятие) "засекретили", спрятали в частных случаях и в математических абстракциях.

При возникновении проблем с пониманием сейчас можно обратиться к поисковым системам и найти в них недостающую информацию. Чтобы визуализировать синус и косинус, нужно вернуться к истокам тригонометрии, понять, откуда эти понятия появились, и для каких целей.

Изначально синус не связан с треугольником. Синус появился из окружности и вписанного в окружность угла.

В окружности с единичным диаметром синус - это хорда, на которую опирается вписанный угол. А косинус - это перпендикулярная хорде-синусу хорда. На иллюстрации видно, что для любого вписанного угла в окружности имеется две линии синуса и две линии косинуса, которые образуют прямоугольник.

Вот эту иллюстрацию и следует использовать для запоминания понятий "синус" и "косинус". По этой иллюстрации можно дать определение синусу своими словами.
Связан ли синус (длина хорды) с противолежащим углом? Ведь мы привыкли говорить "синус угла". Связь длины хорды с углом очень не простая... Скорее, можно говорить о табличном соответствии длины хорды и величины вписанного в окружность угла.

Синус напрямую связан с другим элементом в окружности - с её диаметром. Если мы рассмотрим окружность с произвольным диаметром и вписанный в эту окружность произвольный треугольник (не прямоугольный), то синус получается путем деления стороны треугольника на диаметр этой окружности. То есть, синус - это коэффициент пропорциональности стороны вписанного в окружность треугольника. Понятие "синус" напрямую связано со стороной треугольника. Но традиции есть традиции - принято говорить "синус угла".

Как получаются синусы сторон треугольника видно на иллюстрации ниже. Мы можем вычислить синусы всех сторон (или синусы всех углов, как принято говорить), измерив точной линейкой стороны треугольника и диаметр описанной окружности, и разделив каждую сторону на диаметр. Величины углов нам для этого не нужны.
Усвоив понятие синуса, визуализировав его у себя в воображении, поняв, откуда оно появилось, можно переходить к частным случаям синуса и косинуса, изложенным в учебниках. Легко заметить, что в прямоугольном треугольнике одна из сторон (гипотенуза) одновременно является и диаметром описанной окружности. Теперь становится более понятным определение из учебника геометрии, по которому синус угла - это отношение катета к гипотенузе (т. е., к диаметру окружности). На иллюстрации 2 видно, что косинус совпадает со стороной треугольника только в прямоугольном треугольнике. В любом другом треугольнике линия косинуса находится вне треугольника.

Нужда в них возникла вот и взялись)

У прямоугольного треугольника есть такое свойство - иметь прямой угол.
"Спасибо, Кэп", скажете вы, какое это отношение имеет к синусам?
А такое, что синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы - это отношения разных сторон этого треугольника друг к другу.
Как известно, у прямоугольного треугольника три стороны: два катета и гипотенуза.

Что такое синус угла х? Это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sinx = а/с
Что такое косинус угла х? Это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
сosx= в/с
Что такое тангенс угла х? Это отношение противолежащего катета к прилежащему:
tgx = а/в
Что такое котангенс угла х? Это отношение прилежащего катета к противолежащему:
ctgx = в/а
Какой бы огромный прямоугольный треугольник не был, соотношение его сторон никогда не меняется. Размер измениться может, а вот ПРОПОРЦИИ - нет. Это очень важный момент.
Так вот синусы и пр. - это числовое выражение этих пропорций.
Какое у этого всего применение? Да самое разное! Начиная от определения расстояний до недостижимых объектов, заканчивая расчётами приложения моментов силы (сила прямо пропорциональна углу приложения)

сидели древние люди без интернета нexеp было чем заняться вот и придумывали, чтоб теперь мозги махать ))