почему проседает напряжение под нагрузкой

Недостаточно МОЩНОСТИ блока питания.
Подключите к ГЭС - "проседания" не будет!

Какой мощности лампа?
На трансформаторе надписи есть?
Если трансформатор от лампового радио и обмотки накала ламп соединены последовательно, то может оказаться, что одна обмотка из тонкого провода, рассчитанная на ток 300-600 мА, поэтому напряжение и падает.

У первичной и вторичной обмотки трансформатора есть сопротивление. Если их сложить с учётом трансформации, то получим приблизительно, что сопротивление трансформатора со стороны низковольтной части равно удвоенному сопротивлению вторичной обмотки.

То есть, если сопротивление вторичной обмотки равно 2 ома, то полное внутреннее сопротивление трансформатора будет равно 4 ома. Если мы ещё и сглаживающий конденсатор ставим после моста, то внутреннее сопротивление увеличивается ещё в два-три раза, то есть, скажем, будет 10 ом.

Из-за этого внутреннего сопротивления и происходит просадка. Например, если сопротивление лампочки равно внутреннему сопротивлению блока питания, то напряжение просядет наполовину

)

Мощность транса мала.

Сказанное выше, действительно, уменьшает напряжение.
Но это далеко не всё.
.
Главное - что ненагруженный мост + конденсатор дадут напряжение
U_ампл-2*U_диода = U*√2-2*U_диода.
Из этой ф-лы следует, что (принимая U_диода=0.6 В) U=13.8 В.

А при нагрузке даже без учета сопротивления обмоток, ЕСЛИ (а в данном случае это так !) емкость конденсатора много меньше требуемой для эффективного сглаживания при таких параметрах нагрузки (т. е. наличием конденсатора в данном случае можно пренебречь) мост даст напряжение ≈(2*√2/π)*U-2*U_диода ≈ 12.4 В.

потому, что ты неграмотный крендель и не ходил в школу на уроки физики. Диод в открытом состоянии не перемычка вовсе. На нем падает минимум 0,6 вольт. У тебя 2 диода - вот тебе просадка напруги более чем в вольт. Если диоды мощные, то падение напряжения на них еще больше.

По закону ома