объясните "формулу Тейлора" простыми словами?

это ваще просто,
теорема лагранжа ок да, касательная параллельна хорде - эта касательная это первое прибижение
например синус равен касательной в нуле плюс остаточный член в форме лагранжа, в близи нуля синус почти как y=x
делаем лагранж еще раз, получается вторая производная и вторая степень
и так 20 раз
каждый раз все ближе приближение, если взять бесконечную сумму она сойдется к самой функции
это конечно если вдруг энная производная не дифиринцируема не окажется, тогда не сойдется
посмотри вывод с членом лагранжа.
еще посмотри вывод с членом в интегральной форме,
y=интеграл y' dx
берем по частям dv=dx, u=y' ну и там по формуле uv - итеграл vdu
y= y(x0)-интеграл xy' dx=y(x0)-xy'(x0)+1/2 интеграл xxy'' dx
и так далее по частям интеграчим и получаем тейлора

Представление функции в виде степенного многочлена. А применяется много где... Например, с ее помощью можно вычислить тригонометрическую функцию любого угла с любой точностью с помощью ручки и бумаги. Без ВСЯКИХ вычислительных устройств. Вот ты можешь с помощью карандаша и листка бумаги найти, к примеру, синус угла 78 градусов с точностью хотя бы до четвертого знака после запятой? Так вот это легко делается с помощью разложения функции синуса в ряд Маклорена - частный вид ряда Тейлора.

Формула Тейлора описывает приближение функции алгебраическим многочленом.
Многочлен подгоняют так, чтоб у него значение и производные в заданной точке совпадали с производной функции (первая, вторая и т. д. - где остановиться, зависит от степени многочлена). Вся соль - в оценке на остаточный член, т. е. насколько сильно при каких условиях исходная функция от этого многочлена может отличаться.

А многочлены - клевые штуки, с ними обычная алгебра умеет работать (да и вообще, долгое время алгебра и занималась преимущественно многочленами и решением алгебраических уравнений/систем, т. е. уравнений вида P(x1, ..xn) = ).
Значение многочлена в заданной точке можно в столбик посчитать. Ну или компьютер научить вычислять значение - там операции сложения, да умножения нужны, не так много он уметь должен..

ЗЫ. Есть и другие способы приближения функции многочленом - например, если делать это по значениям функции в нескольких заданных точках, получишь интерполяционный многочлен Лагранжа (частный случай Лагранжа - Ньютон)

Объясните сложными, тогда объясню простыми