Как работает закон сохранения энергии в модели приведённой на рисунке?

Всегда есть теплопотери

Никто, естественно, ничего никуда не пер. "Золотое правило механики" состоит в том, что сколько мы выигрываем в расстоянии, столько проигрываем в силе. В СИЛЕ, а не в МАССЕ.
Силу, передаваемую Вашей системой, мы не знаем. Поэтому, обозначив силу, приложенную к нижнему плечу через F, будем иметь на плече 0,5 м силу 2F, на плече 1 м - F, на плече 2 м - F/2. Энергию посчитаем не кинетическую (ибо у нас там нет никакой массы), а совершенную, через работу, равную произведению силы на перемещение. И будет она ровно такой же, как и на нижнем конце, ибо увеличение силы обратно пропорционально перемещению, а их произведение останется прежним.

...нет такого закона, ибо нет идеала=нет никакой сохранности, тем паче - постоянной трансформации... свою дуальную лапшу вешайте сами себе, но не Карену...

Давайте посмотрим, как происходит процесс. Столкновение длится не мгновенно, а некоторый, пусть и малый, отрезок времени, в течение которого на оба шара действуют силы. Отношение сил равно обратному отношению длин плеч, по золотому правилу механики. Нам не важно, как меняются во времени эти силы и сколько длится сам процесс передачи импульса, важно, что в каждый момент времени есть одно и то же отношение сил.

Теперь давайте возьмём длину плеча 2 м и массу второго шара 0,5 кг. Сила, действующая на него, в каждый момент времени ровно в два раза меньше силы, действующей на шар массой 1 кг. По 2-му з-ну Ньютона a=F/m видим, что ускорения обоих шаров равны (F/1 и 0,5F/0,5) и, опять же, это в каждый момент времени. Через интеграл, площадь под графиком ускорения от времени (V=a*t), - а график одинаков для обоих шаров - получается, что изменения скорости шаров одинаковы. И это верно для любого положения шара на той стороне рычага при той зависимости для масс шаров от длины плеча, которую вы задали. Резюмируем: при условии m1*l1=m2*l2 изменения скоростей обоих шаров равны.

Давайте снова посмотрим на случай l2/l1=2. На сколько изменится скорость шара 1 кг до его отстановки? На 2 м/с. Второго также. Но как же с угловыми скоростями? Ответ- они не равны. Рычаг должен немного спружинить. Учтите, что перемещения почти нулевые, процесс происходит мгновенно. В момент остановки шара 1 кг угловое перемещение другого конца рычага в два раза меньше (хотя, вообще, считаем эти перемещения стремящимися к нулю). Видите - пружина. В пределе, за время столкновения рычаг не перемещается вообще (хотя и при нулевой - опять же, стремящейся к нулю - массе он будет вращаться после столкновения с шаром), но по сути происходит это - рычаг поворачивается, причём разные концы на разные углы.

Итак, дальше. Шар 1 кг остановился, шар 0,5 кг приобрёл скорость 2 м/с. Суммарная энергия их меньше исходной (в 2 раза) - энергию запас рычаг, который деформировался. Деформация порождает силу, которая толкает шар 1 кг назад, а шар 0,5 кг продолжает ускорять в ту же сторону (первый, впрочем, так же). В конечном итоге изменения скоростей обоих шаров будут равны.

Ну это, в общем, как все происходит, видите, что ваше представление о результате столкновения было некорректным. В золотом правиле механики говорится о силе, а не о массе, Сергей Смолицкий все правильно написал. Работа, т. е. изменение энергии шара внизу, равна изменению энергии шара вверху. Это, вообще, по закону сохранения энергии, но получается (само собой) и при рассмотрении длин плеч и сил.

Итак. Как же найти, какие в действительности будут скорости шаров после взаимодействия? Из совместного действия законов сохранения импульса и энергии. Т. е. составляется система из двух уравнений.

В левой части уравнений - исходное состояние системы, в правой - конечное.

m1V0=m1V1+m2V2
(m1V0^2)/2=(m1V1^2)/2+(m2V2^2)/2

m1V0=m1V1+m2V2
m1V0^2=m1V1^2+m2V2^2

V0 из первого уравнения подставляем во второе, находим V2 через V1. Подставив это в 1-е уравнение, получим V1 через известную нам величину V0. Ну и V2 выразим через V0. В общем, для случая m1/m2=0,5 и V0=2 м/с получаем следующие значения скоростей: V1=2/3 м/с, V2=8/3 м/с.