Пример, который убивает теорию

Как раз чёрная дыра и является таким примером и для ОТО, и для квантовой механики, и для термодинамики. Полная теория чёрных дыр в области сингулярности требует квантовой теории гравитации, которая до сих пор толком не создана.

Любые фазовые переходы являются такими примерами!
Фазовые переходы это всегда какая-то сингулярность, расходимость каких-то рядов. Это давно известная проблема математической физики в феноменологических теориях.
Суть примерно такая. Любая теория обычно описывает на уровне сокращенного описания какие-то равновесные процессы. Теория для этого и создается для описания процессов в которых система находится большую часть времени. Для такого описания не требуется очень большой детализации. В этом сила теории. В переходных процессах требуется более детальное описание, а не сокращенное. Это и приводит к разного рода расходимостям.
Расходимости в квантовой электродинамике с точки зрения математики имеют такую же природу как и расходимости в фазовых переходах второго рода. Собственно говоря, они там и решаются одним и тем же математическим аппаратом ренорм-групп.

В термодинамике есть: термодинамика :))))
Не совсем ясно, почему она вообще работает, а ведь работает, да ещё и как!
Там куча натяжек в выводах уравнений, второй закон сформулирован статистически (т. е. не "так! ", а "обычно так... ") и, вообще, она сделана для равновесных систем, тогда как большинство систем в природе совсем не равновесные. А включаешь - работает! (почти ©)
Сейчас довольно активно работают над неравновесной статистической механикой, может чего и наработают :)

В квантовой механике, вроде есть, но они решены квантовой электродинамикой.

1) Теория относительности точно описывает черные дыры (хотя мы можем ПОДОЗРЕВАТЬ, что она здесь ошибается)

2) Такие объекты есть, конечно, и в квантовой механике. Это макроскопические наблюдатели.

3) Такие объекты есть даже в классической электродинамике. Это точечные заряды.

я, конечно, не специалист, но, по-моему, на то она и теория, что еще не доказанна...

Одна из ссылок
Хокинг уже сам пересмотрел свою теорию о Чёрных дырах, мнится, что дыра вовсе не обязательно сингулярный объект.