Как избегают столкновений космические аппараты?

В большинстве случаев, как писали выше, никак.
Однако в некоторых случаях всё-таки активно избегают. В частности МКС время от времени маневрирует для снижения риска столкновений.
Наземные радары непрерывно отслеживают околоземное пространство, траектории всех объектов с размером от нескольких сантиметров и более известны и непрерывно обновляются. Если владелец космического аппарата имеет такое желание, то он может непрерывно рассчитывать, какова будет дистанция от его аппарата до всех известных объектов на орбите в течении ближайшего времени, и, если это расстояние будет сочтено опасным малым (например, менее 1 км), то отправить космическому аппарату команду включить двигатели и изменить орбиту чтобы избежать сближения.
В случае объектов размером в несколько миллиметров или меньше, возможность их отслеживания отсутствует, но правильно сконструированный космический аппарат способен выдержать множество столкновений с такими объектами.

А дорога у них широкая - десятки тысяч километров в ширину. Хуже того, дорога у них многоярусная - десятки тысяч ярусов. Между тем, трафик там очень скромный - вокруг Земли всего несколько машинок в час пролетает. Не так уж трудно разминуться :-) А уж в дальнем космосе - и вовсе, единицы машинок в столетие!

Если на поверхности земли будут случайным образом ездить 100 000 машин, они быстро столкнутся? Правильно, они не столкнутся. А в космосе столкнуться ещё маловероятнее. Так как, во-первых, радиус намного больше, а во-вторых, там ещё и 3д, а не плоскость.

Вот когда начнем свой муор на орбиту закидывать тоды, да непременно какое - то гхавно столкнестся с моим шатлом. А пока Грета отдыхает.

Уже не очень. Чистый. Скорее, наоборот:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Космический_мусор
И прогноз неблагоприятный.

они имеют резиновые бамперы

На разных орбитах летают, но столкновения таки бывают, хоть и весьма редко, да и то это мелочь всякая, столкновение рабочих аппаратов известно всего одно (ДТП Космоса и Iridium'а). Плотность движухи на орбите всё же далеко не как на МКАД.

Касаемо Вояджеров, в межпланетном пространстве очень чисто.

Так там же крутые парни рулят.

Никак. Пока просто космос относительно чистый.
Хотя уже были и столкновения спутников, и попадание мусора в МКС.
На самом деле это большая проблема в будущем. Если вдруг столкнутся два спутника, разлетятся на осколки, эти осколки полетят фиг знает куда, расфигачат еще спутники и так далее... Реальные есть опасения, что просто потеряем космос.
На днях даже специальный спутник-мусорщик вышел, который собрал первый мусор с орбиты.

Спутники малюсенькие. Пространства на орбитах огромные. Представь себе поверхность Земли, только еще увеличенную в диаметре на сотни или тысячи километров - вот столько места.
Да, со временем спутники сходят со своих точных орбит и это немного случайны процесс. Но они почти никогда не сталкиваются, потому что места реально очень много.
Говорят, что всего у Земли 15.5 тысяч искусственных спутников. Площадь планеты 510 миллионов квадратных км (а чем выше - тем шире сфера орбиты) - а размеры их от десятков сантиметров до пары-тройки метров максимум.

траектория рассчитывают.

согласовывают высоту полёта

Не избегают, мкс много раз подвергалась достаточно серьезным повреждениям из за столкновения с мелкими камнями, летящими на большой скорости. Там внешний корпус усеян вмятинами. Но у мкс специальная конструкция, которая спасает от "бомбардировок" экипаж. Крупные объекты поддаются мониторингу и можно корректировать положение мкс, чтобы избегать столкновений. Орбита земли очень засорена космическим мусором, это настоящая проблема. Ну а если так случится, что небольшой камень (который не отследить) прилетит из космоса на огромной скорости и влетит в мкс, то это будет катастрофа. Но вероятность крайне мала.

Они бреют головки членов

резинки по краям

никак.