Когда сушится бельё насыщенный влагой воздух подымается или опускается? Или зависит от температуры среды?

Легче, конечно. Молекулярная масса воды 18, а воздуха 29. Вода для воздуха, как пузырьки для шампанского.

По идее, должен опускаться. По двум причинам - при испарении воды, температура прилегающего воздуха уменьшается и он становится тяжелее. Ну, и плюс к тому, удельный вес влажного воздуха больше чем у сухого.

Насыщенный влагой воздух поднимается.
Химическая формула воды ни для кого не секрет - H2O и молекулярная масса составляет 18 г/моль.
Таким образом, мы взамен более тяжелых молекул азота (28 г/моль) и кислорода (32г/моль) помещаем более легкие молекулы воды (18 г/моль), и общая масса газовой смеси уменьшается.
Получается, что сухой воздух окажется тяжелее, чем влажный.

В реале конечно перемешается, а чисто теоретически должен опускаться: процесс испарения происходит с поглощением тепла, поэтому мокрое белье и соприкасающийся с ним воздух будут остывать и влажный воздух стекать с белья вниз.

Из белья испаряется не воздух, а водяной пар. Воздух сам по себе, а водяные пары сами по себе. Воздух и пары той же температуры, что и окружающая среда. Следовательно ничего никуда подниматься или опускаться не будет. При ветре будет разносится ветром. При безветренной погоде будет идти диссипация (рассеяние) водяных паров.

газ по определению занимает весь объем, значит по логике в помещении пар благодаря конвективными потокам тоже занимать весь объем, а на улице общая влажность вообще не изменится слишком ничтожно мало пара для целой атмосферы.