Как решить? Электростатика

1)
Оператор Лапласа в сферических координатах для случая, когда функция не зависит от от углов, а только от расстояния до какой-то точки:
Lap(F) = (1/R) (d/dR)^2 R F(R)
Приравняем это нулю, получим:
(1/R) (d/dR)^2 R F = 0
(d/dR)^2 R F = 0
(d/dR) R F = C1
R F = C1 R + C2
F = C1 + C2 / R
Понятно, что константа удовлетворяет уравнению Лапласа, нас интересует второй кусок, возьмем C1 = 0. Ну и общий множитель нам не важен, возьмем C2 = 1.
И мы нигде не конкретизировали, относительно какой точки симметрична функция F, поэтому R может быть расстоянием до любой фиксированной точки пространства:
R = |r - r1|
Получаем:
Lap( 1/|r-r1| ) = 0
(при r не равном r1).
2)
Подействуйте на ваш потенциал оператором Лапласа, затем внесите его под знак интегрирования. Лаплассиан будет действовать только на переменную r, с его точки зрения переменная интегрирования - это просто постоянная. А значит вы просто должны подействовать лаплассианом на функцию:
1/|r - r1|
И результат будет нулевым.
(Если r принадлежит области интегрирования, и плотность зарядов в этой точке не равна нулю, то вы должны будете учесть случай, когда r=r1, в этом случае результат будет не нулевым.)
-
Это как увидеть то, что вам требуется доказать, ничего не считая. А можно честно посчитать лаплассиан подынтегральной функции, конечно.

Если приращение функции равно нулю, то и дробь под интегралом равна нулю, ИМХО