Переброс цифры с конца на начало

Пусть исходное число было n-значным. Запишем его в виде 10x + a, где x - (n-1)-значное число, получающееся из исходного путём отбрасывания его последней цифры, a - это последняя цифра исходного числа.
Если переставить последнюю цифру в начало числа, то получится число a*10^n + x
По условию оно в три раза меньше исходного, значит, имеем уравнение:
10x + a = 3*(a*10^n + x),
которое надо решить в натуральных числах, причём 1 <= a <= 9, x - (n-1)-значное число. После упрощений получаем такое уравнение:
7x = a*(3*10^n - 1).
Откуда видно, что либо a, либо (3*10^n - 1) должно делиться на 7. Пусть a делится на 7. Тогда с учётом ограничений a = 7 и после сокращения получаем x = 3*10^n - 1. Получили n-значное число, а должно быть (n-1)-значное. Противоречие. Значит, a на 7 не делится, и только выражение 3*10^n - 1 должно делиться на 7. По свойствам остатков (остатки можно складывать, перемножать и возводить в натуральную степень) оно делится на 7 тогда и только тогда, когда n = 5 + 6k, где k - целое, неотрицательное число. Тогда x = a*(3*10^n - 1) / 7, причём, как легко видеть, первая цифра числа (3*10^n - 1) / 7 равна 4, а значит, x является (n-1)-значным числом только при a = 1, либо при a = 2.

Нас спрашивают, какое было исходное число. Его проще так и записать в виде 10x + a, где a = 1 или 2, x= a*(3*10^(5 + 6k) - 1) / 7, k = 0; 1; 2; ...-произвольное целое неотрицательное число. Это и есть ответ.

Рассмотрим некоторые частные случаи: a = 1, k = 0. Получаем x = 299999/7 = 42857, исходное число равно 428571. При перестановке его последней цифры в начало получаем 142857 - втрое меньше исходного. При a = 2, k = 0, получаем x = 85714, данное число равно 857142 - тоже удовлетворяет условию. При a = 1, k = 1, получаем x = 299999999999/7 = 42857142857, само число равно 428571428571 - удовлетворяет условию. И так далее для любых указанных значений a и k.