Для чего придумана четвёртая и т. д. степени?

Когда вкладываешь бабки в банк, набираются с годами проценты. Вот тогда пригодятся, чтобы тебя не объегорили.

Ты бы ещё спросил: "А зачем числа придумали? Один, два, три - и хватит!"

Хуже того, кроме четвертой и вообще степеней с натуральным показателем, придуманы еще и отрицательные степени, и дробные степени, и мнимые степени, и гиперстепени :) А нужно всё это тогда, когда столкнешься с их применением в различных методах математики, физики, электро- и радиотехники, экономики, биологии, психологии и т. п.

Для вычисления более сложных вещей, чем площадь и объем.

Четвёртая - показатель момента инерции в сопромате. Как правило измеряется в cm^4.
Ну а так-то степень - это чисто математическая шняга обозначающая сколько раз число нужно перемножить на него же. Придумано это, как уже стало понятно, для удобства.

Хы хы))
Похоже, дробные или иррациональные степени вообще взорвут вам мозг))
Подумайте, например, о числе:
2^(5.143)

Есть такая фигня как экспонента. По сути это некое магическое число 2,71 в совершенно какой угодно действительной или даже комплексной степени.
И всего этого добра полным полно в регулирующих алгоритмах, сигналах и прочей науке от электротехники и химии и до экономики и эпидемиологии.

Ну, например, в цифровой технике максимальное число данных определяется степенью числа 2. Например, 16-разрядная ячейка может хранить 2^16=65536 чисел.

комбинаторика
типа - сколько паролей можно составить из прописных букв латиницы длиной 6 букв

Для размышления.