как понять функция, имеющую предел, но не совпадающий с ее значением! спасибо всем

Возьмите самую простую функцию, например, у = 1.
То есть при любых х, у = 1. График ее - прямая линия, паралельная оси х, проходящая через 1 на оси у.

А теперь давайте рассмотрим еще одну, другую функцию, которая при х = 0, равна 0, а в остальных точках совпадает с предыдущей функцией, то есть равна 1.
Т. е. имеем такую функцию:
у = 0, при х = 0
и у = 1, при х не раных 0.

График такой функции рисуют обычно так:
такая же прямая, как и у функции у = 1, но в точке (0, 1) рисуют дырку, и рисуют точку в (0, 0).

Пределом этой функции в точке х = 0, является 1, а значением этой функции в этой точке является 0.

Во всех остальных точках предел этой функции совпадает с ее значением.

Вообще предел функции в какой-то точке, это значение к которому она стремится в ней. Есть, конечно, строгое определение предела в точке. Но можно попытаться объяснить и простыми словами.

Вот давайте опять рассмотрим эти же две функции у = 1, и
у = 1 при х неравных 0, у = 0, при х = 0.
И представьте себе что кто-то нарисовал графики обеих этих функций. А потом закрыл на них только по одной точке в которой х = 0. Тогда графики этих функций станут неотличимы. И если теперь позвать любого человека и попросить его предположить чему равен у, при х = 0, то глядя на этот график любой скажет, что у должен быть равен 1. Потому что все точки рядом с х = 0, указывают на то, что и при х = 0, у = 1.
Так вот это логичное продолжение функции на точку х = 0 и называется пределом в этой точке. То есть предел, это значение для у, которое было бы самым логичным для этой функции в какой-то конкретной точке. Обычно это значение, которое приняла бы функция, если бы была непрерывной в этой точке. Поэтому у непрерывных функций предел и совпадает со значением. А вот если мы вычисляем предел функции в точке, в которой она имеет разрыв, то очень часто он отличается от ее значения.

Можно вообще сказать, что при х = 0, наша функция не определена, а в остальных точках у = 1. Тогда предел при х стремящемся к нулю, опять равен 1, а значения в этой точке вообще не существует.

Особый случай с бесконечностями: иногда существуют конечные пределы при х стремящемся к бесконечностям (например, предел функции y = arctg x, при х стремящемся к бесконечности равен 1/2*пи) , и иногда говорят о пределах, которые принимают бесконечные значения, как например, предел функции 1/х при х стремящемся к нулю.

Это значит, что значение функции стремится к какому-то числу, но никогда его не достигнет. Пример - простая гипербола у=1/х. При х, стремящемся к бескончности функция стремится к нулю, но никогда нулем не станет. По-другому, предел (но не значение) этой функции при х, стремящемся к бесконечности, равен нулю.