Прошу разъяснить мне, откуда взялась формула сочетаний и размещений в комбинаторике? Как к ней прийти самостоятельно?

на примере проще всего, имхо.

начнём с размещений.
пусть у тебя есть числа 1, 2, 3, 4, и тебе надо найти число составленных из них троек чисел (например (1, 2, 3), (4, 3, 1) и т. п.).
получаем:
(1, 2, 3)
(1, 2, 4)
(1, 3, 2)
(1, 3, 4)
(1, 4, 2)
(1, 4, 3)
(2, 1, 3)
(2, 1, 4)
(2, 3, 1)
(2, 3, 4)
(2, 4, 1)
(2, 4, 3)
(3, 1, 2)
(3, 1, 4)
(3, 2, 1)
(3, 2, 4)
(3, 4, 1)
(3, 4, 2)
(4, 1, 2)
(4, 1, 3)
(4, 2, 1)
(4, 2, 3)
(4, 3, 1)
(4, 3, 2)
всего 24 варианта.

как они получены?
на первое место можешь поставить любое число из четырёх
на второе - любое из оставшихся трёх
на третье - любое из оставшихся двух.
получаем число вариантов: 4 * 3 * 2 = 4! / 1! = 4! / (4 - 3)!

то есть, формула n!/((n-k)!) - это сокращенная запись выражения:
n * (n-1) * (n-2) * ...* (n-(k-1))

теперь сочетания.
пусть теперь порядок чисел внутри тройки не важен.
тогда, например, тройки (4, 3, 1), (3, 4, 1), (1, 3, 4) и т. п. эквивалентны.
получаем:
(1, 2, 3) ~ (1, 3, 2) ~ (2, 1, 3) ~ (2, 3, 1) ~ (3, 1, 2) ~ (3, 2, 1)
(1, 2, 4) ~ (1, 4, 2) ~ (2, 1, 4) ~ (2, 4, 1) ~ (4, 1, 2) ~ (4, 2, 1)
(1, 3, 4) ~ (1, 4, 3) ~ (3, 1, 4) ~ (3, 4, 1) ~ (4, 1, 3) ~ (4, 3, 1)
(2, 3, 4) ~ (2, 4, 3) ~ (3, 2, 4) ~ (3, 4, 2) ~ (4, 2, 3) ~ (4, 3, 2)
всего четыре варианта.

как они получены?
а просто в одну строку сведены все перестановки внутри тройки чисел.
количество этих перестановок для каждой тройки x, y, z легко посчитать:
на первое место ставим любое число из трех
на второе - любое число из оставшихся двух
на третье - то, что останется.
получаем, что каждый набор x, y, z обеспечивает 3! вариантов.

таким образом, если порядок чисел внутри тройки не важен, то у нас есть 4 * 3 * 2 / 3! разных троек.

иными словами n!/(k!(n-k)!) - это запись следующих действий:
посчитать число наборов, где порядок элементов важен: n!/((n-k)!)
а потом объединить однотипные наборы, уменьшив результат на количество перестановок внутри набора: n!/((n-k)!) / k!

чти вики Комбинаторика
в конце список литературы. скачивай, читай, решай задачи.