Какой раздел физики отвечает за описания совместимости ньютоновской механики и квантовой?

Зачем их совмещать. Каждая имеет свою область применения.

Ньютоновская механика - это просто частный случай квантовой механики. Какой-то отдельной теории для их стыковки не требуется. Как не требуется, например, особым образом стыковать арифметику и алгебру.

Более современный раздел науки описывает все древние автоматически. Потому что он больше и охватывает их.

Исключение, когда более современный находится в зачаточном состоянии. Тогда он с трудом описывает даже сам себя и больше похож на ересь. Именно в таком состоянии находилась квантовая физика 50 лет назад.

Астрофизика, йопт. Есть, например, уравнения, описывающие состояние звезды -- с одной стороны гравитация (в первом приближении можно использовать ньютоновскую механику, но лучше все-таки общую теорию относительности, особенно если в какой-то момент возникают сверхплотные состояния), с другой -- давление плазмы, в которой происходят термоядерные реакции. Если две стороны равны, звезда находится в равновесии. Если сила давления превышает силу тяжести, звезда расширяется. Если наоборот -- ну, Вы поняли... Причем в зависимости от исходной массы звезды результатом ее эволюции может быть либо белый карлик, либо нейтронная звезда, либо черная дыра...

Этим занимается математика.
Все прекрасно аппроксимируется, упрощается и усредняется при взгляде "издалека".

Странное представление.
... наука ни за что не отвечает. Отвечает учёный. Если не правильно учился.
И наука не описывает, а предсказывает. ..опять же, если учёный выученый.

Такого нет, ньютоновская механика это упрощенная небольшая часть теории относительности, а она с квантовой теорией совершенно не совместима.