Среднее время ожидания автобуса

имхо, эта задача тут возникала неоднократно в разных вариациях, и неоднократно же разными способами решалась. что-то там было через геометрические вероятности, если не путаю. но, поскольку искать лень, а думать ещё больше лень, попробуем порассуждать "в лоб".

итак, пусть у нас есть два автобуса с интервалами движения А < B, и клиент приходит на остановку в совершенно случайный момент времени. перед ним возникают две случайные величины - времена до следующих автобусов. одна, ξ, имеет равномерное распределение на отрезке [0,A], вторая, ζ - равномерно распределена на отрезке [0,B]. время же ожидания автобуса будет комбинацией из этих двух величин:
η = F(ξ, ζ) = min(ξ, ζ)
найдем ее плотность вероятности f(x).

зададимся интервалом [t,t+dt] и посмотрим вероятность того, что чел уедет в этот промежуток времени.
P{t < η < t+dt} = f(t) dt =
= P{t < min(ξ, ζ) < t+dt} =
= P{t < ξ < t+dt, ζ > t+dt} + P{t < ζ < t+dt, ξ > t+dt} + o(dt) =
= P{t < ξ < t+dt} * P{ζ > t+dt} + P{t < ζ < t+dt} * P{ξ > t+dt} + o(dt) =
= 1/A dt * (B-t-dt)/B + 1/B dt * (A-t-dt)/A + o(dt) =
= (A+B-2t)/(AB) dt + o(dt)
получили плотность вероятности: f(t) = (A+B-2t)/(AB)

проверим, что это у нас не хвост собачий, а плотность, т. е.,
∫ f(t) dt в пределах от 0 до A = 1.
ну, это легко, не будем заморачиваться.

осталась самая малось: посчитать мат. ожидание. оно выражается тоже интегралом:
∫ t f(t) dt в пределах от 0 до A =
1/(AB) * ∫ (A+B-2t) t dt =
= A/2 - A^2 / (6B)
нетрудно убедиться, что эта величина неотрицательная.

теперь осталось подставить A=10, B=11 и получить ответ: ~ 3.5 минуты.

короче, в выкладках, может, есть косяки, но идея, надеюсь, ясна.

Не буду повторять рассуждения С. Баруздина, а использую их.
Полный период времени составляет 11*10= 110 мин и состоит из следующих 10 пар отрезков времени (в мин-ах): 10 и 1, 9 и 2, ..1 и 10; это можно перегруппировать как по 2 шт 1, 2, ..10. Вероятность появления человека на остановке в каждой из этих пар отрезков 2*1/110, 2*2/110, ..2*10/110. Сумма этих вероятностей, разумеется, равна единице: 2/110*(1+2+...+10)= 2/110*55= 1 (полное множество событий).
Чтобы найти усреднённое значение этих отрезков времени, каждый из них следует умножить на "свою" вероятность и суммировать все:
Тср= 2*1/110*1+2*2/110*2+...+2*10/110*10= 2/110*(1*1+2*2+...+10*10). Пользуясь формулой суммы квадратов S= n(n+1)(2n+1)/6, находим:
Тср= 2/110*10*11*21/6= 7 мин (всё легко сократилось).
Если человек окажется на остановке в конце этого отрезка времени, то время его ожидания будет ноль; если в начале, то 7 мин. Таким образом искомое среднее время ожидания tср= 7/2= 3,5 мин.

Если максимальное десять а минимальное ноль, среднее вроде как пять получается. Или я чего не понял.

Все зависит от момента выхода пассажира на остановку...

Вычисления: скриншот 1.
Проверка: cкригшот 2.

Как я решал: не скажу, сами думайте.