Почему нет точного определения векторного поля? В википедии этого точного определения нет

Потому что википедию пишут люди, которые не всегда компетентны.

Лучше всего под векторным полем понимать тензорное поле первого ранга. Таким образом, основное свойство векторного поля заключается в том, что при изменении системы координат, в общем случае (например, при вращении) меняются не только координаты вектора, но и ЕГО КОМПОНЕНТЫ.

Поэтому не любое формальное поле, имеющее внешний вид векторного поля, на самом деле, является векторным полем.

Например, векторным полем не является объединение двух скалярных полей. Допустим, у вас на поверхности Земли есть скалярное поле температуры T(x,y) и скалярное поле атмосферного давления P(x,y). Мы можем формально создать из них вектор с двумя компонентами V(x,y) = (T(x,y), P(x,y)). Но это поле V(x,y) никак не является векторным полем не смотря на то, что удовлетворяет определению из Википедии.

Потому, что Википедия - не самый авторитетный источник знаний. Читайте академические издания. Там всё есть и даже более того, что вы в состоянии переварить.

ты чё, муд@к? это физика за 7-ой класс

да эт просто отображение трех координат точек в три координаты вектора, или четыре, да сколько хочешь

Ве́кторное по́ле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке.
И
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G – некоторая область в пространстве Oxyz . Говорят, что на G задано векторное поле (векторная функция), если в каждой точке M(x;y;z)∈G
задан вектор ā, длина и направление которого зависят от координат точки M.
Записывают: ā= ā(x;y;z)= ā(M) или ā= P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k
Векторное поле может зависеть не только от координат точки, но и от времени. Такое поле называют нестационарным (переменным).
Будем рассматривать только стационарные (не зависящие от времени) векторные поля.
Частные случаи векторных полей:
1) Однородное поле
Векторное поле называется однородным, если ā (M) – постоянный вектор, т. е. ā (M) = ā.
2) Плоское поле
Векторное поле называется плоским, если в выбранной
системе координат координаты вектора ā (M) не зависят от
одной переменной, причем проекция вектора ā (M) на ось отсутствующей переменной – нулевая.
Например,
ā= P (x;y) i+Q (x;y) j
Основные характеристики векторных полей
1) Векторные линии
2) Поток вектора
3) Дивергенция
4) Циркуляция
5) Ротор