Вопрос о радиусе кривизны

Траектория - это ведь некоторая парабола вида y = a + b*x + c*x^2, верно?
А кривизна на плоскости задается просто:
к = |f''|/(1 + (f')^2)^(3/2) = |2c|/(1 + (b+2cx)^2)^(3/2)
Значит, R = 1/к = |1/2c|*(1 + (b+2cx)^2)^(3/2)
Теперь просто осталось найти константы a, b, c,
а время с координатой по x легко связывается, x = x0 + v0*cos(a)*t.

Можно честно вписать окружность в тректорию в окрестности какой-то точки, и посмотреть, какой у нее радиус.

Есть довольно простой путь решения (хотя сами формулы действительно получаются громоздкими).
Вектор ускорения тела (или материальной точки) можно разложить на две компоненты - тангенциальную (направленную по касательной к траектории, т. е. параболе) и нормальную (направленную к центру кривизны в данной точке траектории). Сумма же этих компонент есть просто вектор g, который направлен вертикально вниз и не зависит от времени.
Модуль нормального ускорения тела по известной формуле равен просто v²/R, где v - модуль мгновенной скорости тела в данный момент времени, R - искомый радиус кривизны траектории. Модуль же вектора тангенциального ускорения - это производная модуля его скорости по времени.

Следовательно, путь решения такой.

Записываем кинематические формулы для координат тела, брошенного под углом горизонту:

x(t) = v0*cos α*t
y(t) = v0*sin α*t - gt²/2

Считаем, что тело брошено из начала координат (x0 = y0 = 0)

Производные этих формул дадут нам зависимости проекций скорости от времени:

v_x(t) = v0*cos α
v_y(t) = v0*sin α - gt

Модуль вектора скорости равен квадратному корню из суммы квадратов проекций:

v(t) = √((v0*cos α)² + (v0*sin α - gt)²)

Или после раскрытия скобок:

v(t) = √(v0² - 2v0*sin α*gt + g²t²)

Производная модуля вектора скорости по времени - это модуль тангенциального ускорения:

a_т (t)= dv(t) / dt = (g²t - v0*sin α*g) / √(v0² - 2v0*sin α*gt + g²t²)

(если я нигде не ошибся в выкладках).

Модуль полного ускорения с одной стороны равен просто g, а с другой - корню квадратному из суммы квадратов модулей векторов тангенциального и нормального ускорений (поскольку эти векторы взаимно перпендикулярны). Отсюда, зная g и a_т, определяем a_n - модуль вектора нормального ускорения:

a_n = √(g² - a_т²)

А сам радиус кривизны тогда будет: R(t) = v²(t) / a_n (t).